Упр.1407 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$5\log_{2}(x^2-4x+3{,}5)>\frac{1}{5}$$

1) $$3^{\log_2\frac{x-1}{x+2}}<\frac19$$

Так как $$\frac19=3^{-2},$$ то

$$\log_2\frac{x-1}{x+2}<-2.$$

Переходим к логарифму по основанию $$2$$:

$$\log_2\frac{x-1}{x+2}<\log_2\frac14.$$

Тогда

$$\frac{x-1}{x+2}<\frac14,$$

при этом обязательно

$$\frac{x-1}{x+2}>0.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} \frac{x-1}{x+2}<\frac14,\\ \frac{x-1}{x+2}>0. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$\frac{4(x-1)-(x+2)}{4(x+2)}<0 \iff \frac{3x-6}{4(x+2)}<0 \iff \frac{x-2}{x+2}<0.$$

Отсюда $$-2<x<2.$$

Второе неравенство даёт:

$$\frac{x-1}{x+2}>0 \iff x<-2 \text{ или } x>1.$$

Пересечение условий:

$$1<x<2.$$

2) $$5^{\log_2(x^2-4x+3{,}5)}>\frac15$$

Так как $$\frac15=5^{-1},$$ то

$$\log_2(x^2-4x+3{,}5)>-1.$$

Переходим к основанию $$2$$:

$$\log_2(x^2-4x+3{,}5)>\log_2\frac12,$$

значит

$$x^2-4x+3{,}5>\frac12,$$

и одновременно

$$x^2-4x+3{,}5>0.$$

Получаем:

$$x^2-4x+3>0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$

Тогда

$$(x-1)(x-3)>0,$$

откуда

$$x<1 \text{ или } x>3.$$

Ответ: 1) $$1<x<2$$; 2) $$x<1 \text{ или } x>3$$.