Упр.1406 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1406

Подробный ответ

$$3{,}3^{x^2+6x}<1$$
Так как $$1=3{,}3^0$$ и основание $$3{,}3>1$$, получаем:
$$x^2+6x<0$$
$$x(x+6)<0$$
Отсюда
$$-6<x<0$$
$$\left(\frac14\right)^{x-x^2}>\frac12$$
Представим всё в виде степеней двойки:
$$\left(\frac12\right)^{2x-2x^2}>\frac12$$
Так как $$\frac12=\left(\frac12\right)^1$$ и основание $$\frac12<1$$, то
$$2x-2x^2<1$$
$$2x^2-2x+1>0$$
Дискриминант:
$$D=(-2)^2-4\cdot2\cdot1=4-8=-4<0$$
При $$a=2>0$$ квадратный трёхчлен всегда положителен, значит неравенство верно при любых $$x$$.
$$x\in\mathbb{R}$$
$$8{,}4^{\frac{x-3}{x^2+6x+11}}<1$$
Так как $$1=8{,}4^0$$ и основание $$8{,}4>1$$, то
$$\frac{x-3}{x^2+6x+11}<0$$
Знаменатель:
$$x^2+6x+11$$
имеет дискриминант
$$D=6^2-4\cdot1\cdot11=36-44=-8<0$$
и при $$a=1>0$$ всегда положителен. Тогда нужно, чтобы
$$x-3<0$$
$$x<3$$
$$2^{2x+1}-21\cdot\left(\frac12\right)^{2x+3}+2\ge0$$
Преобразуем:
$$2\cdot2^{2x}-21\cdot\frac{1}{8\cdot2^{2x}}+2\ge0$$
Пусть $$y=2^{2x}$$, тогда $$y>0$$ и
$$2y-\frac{21}{8y}+2\ge0$$
Умножим на $$8y>0$$:
$$16y^2+16y-21\ge0$$
Корни уравнения:
$$D=16^2+4\cdot16\cdot21=1600$$
$$y_1=\frac{-16-40}{32}=-\frac74,\qquad y_2=\frac{-16+40}{32}=\frac34$$
Тогда
$$16\left(y+\frac74\right)\left(y-\frac34\right)\ge0$$
С учётом $$y>0$$ получаем
$$y\ge\frac34$$
То есть
$$2^{2x}\ge\frac34$$
$$2x\ge\log_2\frac34$$
$$x\ge\frac12\log_2\frac34$$
$$3^{4-3x}-35\cdot\left(\frac13\right)^{2-3x}+6\ge0$$
Запишем через основание $$3$$:
$$3^4\cdot3^{-3x}-35\cdot3^{3x-2}+6\ge0$$
Пусть $$y=3^{3x}$$, тогда $$y>0$$ и
$$\frac{81}{y}-\frac{35}{9}y+6\ge0$$
Умножим на $$9y>0$$:
$$729-35y^2+54y\ge0$$
$$35y^2-54y-729\le0$$
Корни:
$$D=54^2+4\cdot35\cdot729=104976$$
$$y_1=-\frac{27}{7},\qquad y_2=\frac{27}{5}$$
Следовательно,
$$-\frac{27}{7}\le y\le\frac{27}{5}$$
Так как $$y>0$$, то
$$0<y\le\frac{27}{5}$$
Значит,
$$3^{3x}\le\frac{27}{5}$$
$$3x\le\log_3\frac{27}{5}$$
$$3x\le 3-\log_3 5$$
$$x\le 1-\frac13\log_3 5$$