Упр.1406 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) $$3{,}3^{x^2+6x}<1$$
Так как $$1=3{,}3^0,$$ получаем
$$x^2+6x<0$$
$$x(x+6)<0$$
Произведение отрицательно между корнями:
$$-6<x<0$$
2) $$\left(\frac14\right)^{x-x^2}>\frac12$$
Перепишем через основание $$\frac12$$:
$$\left(\frac12\right)^{2x-2x^2}>\left(\frac12\right)^1$$
Так как $$0<\frac12<1,$$ то
$$2x-2x^2<1$$
$$2x^2-2x+1>0$$
Дискриминант:
$$D=(-2)^2-4\cdot 2\cdot 1=4-8=-4<0$$
При $$a=2>0$$ квадратный трёхчлен всегда положителен, значит неравенство верно при любых $$x.$$
$$x\in \mathbb{R}$$
3) $$8{,}4^{\frac{x-3}{x^2+6x+11}}<1$$
Так как $$1=8{,}4^0,$$ а $$8{,}4>1,$$ то
$$\frac{x-3}{x^2+6x+11}<0$$
Знаменатель всегда положителен, поскольку
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 11=36-44=-8<0,$$
а старший коэффициент положителен. Значит,
$$x-3<0,$$
$$x<3.$$
4) $$2^{2x+1}-21\cdot \left(\frac12\right)^{2x+3}+2\ge 0$$
Положим $$y=2^{2x},$$ тогда $$y>0$$ и
$$2^{2x+1}=2y,\qquad \left(\frac12\right)^{2x+3}=\frac{1}{8\cdot 2^{2x}}=\frac{1}{8y}.$$
Получаем
$$2y-\frac{21}{8y}+2\ge 0$$
Умножим на $$8y>0$$:
$$16y^2+16y-21\ge 0$$
$$16y^2+16y-21=(4y-3)(4y+7)$$
Тогда
$$(4y-3)(4y+7)\ge 0$$
С учётом $$y>0$$ получаем
$$y\ge \frac34.$$
Значит,
$$2^{2x}\ge \frac34$$
$$2x\ge \log_2\frac34$$
$$x\ge \frac12\log_2\frac34.$$
5) $$3^{4-3x}-35\cdot \left(\frac13\right)^{2-3x}+6\ge 0$$
Пусть $$y=3^{3x},$$ тогда $$y>0$$ и
$$3^{4-3x}=\frac{81}{y},\qquad \left(\frac13\right)^{2-3x}=\frac{3^{3x}}{9}=\frac{y}{9}.$$
Тогда
$$\frac{81}{y}-35\cdot \frac{y}{9}+6\ge 0$$
Умножим на $$9y>0$$:
$$729-35y^2+54y\ge 0$$
$$35y^2-54y-729\le 0$$
Найдём корни:
$$D=(-54)^2-4\cdot 35\cdot (-729)=104976,$$
$$\sqrt D=324,$$
$$y_1=\frac{54-324}{70}=-\frac{27}{7},\qquad y_2=\frac{54+324}{70}=\frac{27}{5}.$$
Тогда
$$35\left(y+\frac{27}{7}\right)\left(y-\frac{27}{5}\right)\le 0$$
и с учётом $$y>0$$ получаем
$$0<y\le \frac{27}{5}.$$
Следовательно,
$$3^{3x}\le \frac{27}{5}$$
$$3x\le \log_3\frac{27}{5}$$
$$3x\le 3-\log_3 5$$
$$x\le 1-\frac13\log_3 5.$$
Ответ
1) $$-6<x<0$$; 2) $$x\in \mathbb{R}$$; 3) $$x<3$$; 4) $$x\ge \frac12\log_2\frac34$$; 5) $$x\le 1-\frac13\log_3 5$$.
