Упр.1405 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2^{2x}-4^{x-1}+\frac{8^{2x}}{3}\cdot2^{-4}>52$$
2. $$2(x+2)-2(x+3)+5(x-2)>5(x+1)+2(x+4)$$

1) Преобразуем левую часть неравенства:

$$2^{2x}-4^{x-1}+8^{\frac{2}{3}x}\cdot 2^{-4}>52$$

Так как $$4^{x-1}=2^{2x-2}$$, а $$8^{\frac{2}{3}x}=(2^3)^{\frac{2}{3}x}=2^{2x},$$ получаем

$$2^{2x}-2^{2x-2}+2^{2x-4}>52.$$

Вынесем $$2^{2x-4}$$ за скобки:

$$2^{2x-4}(2^4-2^2+1)>52$$

$$2^{2x-4}\cdot 13>52$$

$$2^{2x-4}>4=2^2.$$

Так как функция $$2^t$$ возрастает, то

$$2x-4>2,$$

$$2x>6,$$

$$x>3.$$

2) Рассмотрим неравенство

$$2^{x+2}-2^{x+3}+5^{x-2}>5^{x+1}+2^{x+4}.$$

Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

$$2^{x+2}-2^{x+3}-2^{x+4}>5^{x+1}-5^{x-2}.$$

Вынесем общие множители:

$$2^x(4-8-16)>5^x\left(5-\frac{1}{25}\right).$$

Тогда

$$-20\cdot 2^x>\frac{124}{25}\cdot 5^x.$$

Левая часть отрицательна при любом $$x$$, а правая положительна при любом $$x$$. Следовательно, неравенство решений не имеет.

Ответ: 1) $$x>3$$; 2) решений нет.