Упр.1400 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 1400. Решить неравенство:
1) $$|2x-3|
3) $$|x^2-7x+12|\le 6$$;
4) $$|x^2-3x-4|>6$$;
5) $$|2x^2-x-1|\ge 5$$;
6) $$|3x^2-x-4|<2$$.
1) Рассмотрим случаи.
Если $$2x-3\ge 0,$$ то $$|2x-3|=2x-3,$$ и неравенство принимает вид
$$2x-3<x,$$
откуда $$x<3.$$
С учётом условия $$x\ge 1{,}5$$ получаем $$1{,}5\le x<3.$$
Если $$2x-3<0,$$ то $$|2x-3|=-(2x-3),$$ и тогда
$$-2x+3<x,$$
$$-3x<-3,$$
$$x>1.$$
С учётом условия $$x<1{,}5$$ получаем $$1<x<1{,}5.$$
Объединяя, имеем:
$$1<x<3.$$
2) Если $$4-x\ge 0,$$ то $$|4-x|=4-x,$$ и
$$4-x>x,$$
$$4>2x,$$
$$x<2.$$
Если $$4-x<0,$$ то $$|4-x|=x-4,$$ и неравенство $$x-4>x$$ решений не имеет.
Следовательно,
$$x<2.$$
3) Так как $$|x^2-7x+12|\le 6,$$ то
$$-6\le x^2-7x+12\le 6.$$
Решим двойное неравенство по частям:
$$x^2-7x+12\le 6 \;\Longleftrightarrow\; x^2-7x+6\le 0,$$
$$x^2-7x+6=(x-1)(x-6),$$
откуда
$$1\le x\le 6.$$
Проверка нижней границы:
$$x^2-7x+12\ge -6 \;\Longleftrightarrow\; x^2-7x+18\ge 0,$$
а это верно при всех $$x,$$ так как $$D=49-72<0.$$
Значит,
$$1\le x\le 6.$$
4) Рассмотрим случаи.
Если $$x^2-3x-4\ge 0,$$ то $$|x^2-3x-4|=x^2-3x-4,$$ и
$$x^2-3x-4>6,$$
$$x^2-3x-10>0,$$
$$(x+2)(x-5)>0,$$
откуда $$x<-2$$ или $$x>5.$$
Если $$x^2-3x-4<0,$$ то $$|x^2-3x-4|=-(x^2-3x-4),$$ и
$$-x^2+3x+4>6,$$
$$x^2-3x+2<0,$$
$$(x-1)(x-2)<0,$$
откуда $$1<x<2.$$
Итак,
$$x<-2;\quad 1<x<2;\quad x>5.$$
5) Если $$2x^2-x-1\ge 0,$$ то $$|2x^2-x-1|=2x^2-x-1,$$ и
$$2x^2-x-1\ge 5,$$
$$2x^2-x-6\ge 0,$$
$$(2x-3)(x+2)\ge 0,$$
откуда $$x\le -\frac{3}{2}$$ или $$x\ge 2.$$
Если $$2x^2-x-1<0,$$ то $$|2x^2-x-1|=-(2x^2-x-1),$$ и
$$-2x^2+x+1\ge 5,$$
$$2x^2-x+4\le 0,$$
что невозможно, так как уравнение $$2x^2-x+4=0$$ не имеет действительных корней.
Следовательно,
$$x\le -\frac{3}{2}\quad \text{или}\quad x\ge 2.$$
6) Рассмотрим случаи.
Если $$3x^2-x-4\ge 0,$$ то $$|3x^2-x-4|=3x^2-x-4,$$ и
$$3x^2-x-4<2,$$
$$3x^2-x-6<0.$$
Корни уравнения $$3x^2-x-6=0$$:
$$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{73}}{6}.$$
Тогда
$$\frac{1-\sqrt{73}}{6}<x<\frac{1+\sqrt{73}}{6}.$$
С учётом условия $$3x^2-x-4\ge 0$$ получаем
$$x<-\frac{2}{3}\quad \text{или}\quad x>1.$$
Если $$3x^2-x-4<0,$$ то $$|3x^2-x-4|=-(3x^2-x-4),$$ и
$$-3x^2+x+4<2,$$
$$3x^2-x-2>0,$$
$$(3x+2)(x-1)>0,$$
откуда $$x<-\frac{2}{3}$$ или $$x>1.$$
С учётом условия $$3x^2-x-4<0$$ имеем
$$\frac{1-\sqrt{73}}{6}<x<-\frac{2}{3}$$
или
$$1<x<\frac{1+\sqrt{73}}{6}.$$
Итак,
$$\frac{1-\sqrt{73}}{6}<x<-\frac{2}{3};\quad 1<x<\frac{1+\sqrt{73}}{6}.$$
Ответ
1) $$1<x<3$$; 2) $$x<2$$; 3) $$1\le x\le 6$$; 4) $$x<-2,\; 1<x<2,\; x>5$$; 5) $$x\le -\frac{3}{2},\; x\ge 2$$; 6) $$\frac{1-\sqrt{73}}{6}<x<-\frac{2}{3},\; 1<x<\frac{1+\sqrt{73}}{6}$$.
