Упр.1400 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1400 1) |2x-3| < x;
2) |4-x| > х;
3) |х2 — 7х + 12| < = 6;
4) |х2 - 3х - 4| > 6;
5) |2х2 — х — 1| > = 5;
6) |3х2-х-4| < 2.
- $$|2x-3|
Рассмотрим два случая:
$$2x-3<x \Rightarrow x<3,$$
$$-(2x-3)<x \Rightarrow -2x+3<x \Rightarrow x>1.$$С учётом условия $$x>0$$ получаем:
$$1<x<3.$$
- $$|4-x|>x$$
Если $$x<0$$, то неравенство верно. При $$x\ge 0$$ рассмотрим случаи:
$$4-x>x \Rightarrow x<2,$$
$$-(4-x)>x \Rightarrow x-4>x,$$второе неравенство решений не имеет.
Итак,
$$x<2.$$
- $$|x^2-7x+12|\le 6$$
$$-6\le x^2-7x+12\le 6.$$
Из правой части:
$$x^2-7x+12\le 6 \Rightarrow x^2-7x+6\le 0 \Rightarrow (x-1)(x-6)\le 0,$$
откуда
$$1\le x\le 6.$$
Левая часть даёт:
$$x^2-7x+12\ge -6 \Rightarrow x^2-7x+18\ge 0,$$
а это верно при всех $$x$$, так как $$D=49-72<0$$.
Следовательно,
$$1\le x\le 6.$$
- $$|x^2-3x-4|>6$$
Решаем по определению модуля:
$$x^2-3x-4>6 \Rightarrow x^2-3x-10>0 \Rightarrow (x+2)(x-5)>0,$$
откуда
$$x<-2 \text{ или } x>5.$$
Или
$$x^2-3x-4<-6 \Rightarrow x^2-3x+2<0 \Rightarrow (x-1)(x-2)<0,$$
откуда
$$1<x<2.$$
- $$|2x^2-x-1|\ge 5$$
Рассмотрим два случая:
$$2x^2-x-1\ge 5 \Rightarrow 2x^2-x-6\ge 0 \Rightarrow (2x+3)(x-2)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -\frac{3}{2} \text{ или } x\ge 2.$$
$$2x^2-x-1\le -5 \Rightarrow 2x^2-x+4\le 0.$$
Но $$D=1-32=-31<0$$, значит, решений нет.
Итак,
$$x\le -\frac{3}{2} \text{ или } x\ge 2.$$
- $$|3x^2-x-4|<2$$
$$-2<3x^2-x-4<2.$$
Из правой части:
$$3x^2-x-4<2 \Rightarrow 3x^2-x-6<0.$$
Найдём корни:
$$D=1+72=73,$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{73}}{6}.$$Тогда
$$\frac{1-\sqrt{73}}{6}<x<\frac{1+\sqrt{73}}{6}.$$
Из левой части:
$$3x^2-x-4>-2 \Rightarrow 3x^2-x-2>0 \Rightarrow (3x+2)(x-1)>0,$$
откуда
$$x<-\frac{2}{3} \text{ или } x>1.$$
Пересечение даёт:
$$\frac{1-\sqrt{73}}{6}<x<-\frac{2}{3} \quad \text{или} \quad 1<x<\frac{1+\sqrt{73}}{6}.$$
Ответ
1) $$1<x<3$$;
2) $$x<2$$;
3) $$1\le x\le 6$$;
4) $$x<-2,\ 1<x<2,\ x>5$$;
5) $$x\le -\frac{3}{2},\ x\ge 2$$;
6) $$\frac{1-\sqrt{73}}{6}<x<-\frac{2}{3},\ 1<x<\frac{1+\sqrt{73}}{6}$$.
