Упр.1399 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каком наибольшем целом значении $$x$$ выражение $$\frac{x^2-x-6}{-7-x^2}$$ принимает положительное значение?

Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2-x-6}{-7-x^2}>0.$$

Преобразуем знаменатель:

$$-7-x^2=-(x^2+7).$$

Тогда

$$\frac{x^2-x-6}{-(x^2+7)}>0,$$

или

$$\frac{x^2-x-6}{x^2+7}<0.$$

Так как $$x^2+7>0$$ при любом $$x$$, знак дроби определяется только числителем. Значит, нужно решить неравенство

$$x^2-x-6<0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$

Получаем

$$(x-3)(x+2)<0,$$

откуда

$$-2<x<3.$$

Наибольшее целое значение $$x$$, при котором выражение положительно, равно $$2$$.

Ответ: $$2$$.