Упр.1396 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каком наименьшем целом значении $$m$$ уравнение $$\left(m-1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+m-3=0$$ имеет два различных действительных корня?

Чтобы уравнение $$\left(m-1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+m-3=0$$ имело два различных действительных корня, нужно, чтобы

$$D>0 \quad \text{и} \quad m-1\ne 0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m-1\right)\left(m-3\right).$$

$$D=4\left(m+1\right)^2-4\left(m-1\right)\left(m-3\right).$$

$$D=4\left(m^2+2m+1-m^2+4m-3\right)=4\left(6m-2\right).$$

Тогда

$$4\left(6m-2\right)>0 \;\;\Longrightarrow\;\; 6m-2>0 \;\;\Longrightarrow\;\; m>\frac13.$$

Кроме того, $$m\ne 1$$, так как при $$m=1$$ уравнение становится линейным.

Наименьшее целое число, удовлетворяющее условиям $$m>\frac13$$ и $$m\ne 1$$, равно $$2$$.

Ответ: $$2$$.