Упр.1389 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
При каких значениях $$x$$ положительна дробь:
1) Рассмотрим дробь $$\frac{5x-4}{7x+5}.$$
Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны быть одного знака:
$$\begin{cases} 5x-4>0 \\ 7x+5>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 5x-4<0 \\ 7x+5<0 \end{cases}$$
Из первого случая получаем:
$$x>\frac45,\quad x>-\frac57,$$
значит, $$x>\frac45.$$
Из второго случая получаем:
$$x<\frac45,\quad x<-\frac57,$$
значит, $$x<-\frac57.$$
Итак,
$$x\in\left(-\infty;-\frac57\right)\cup\left(\frac45;+\infty\right).$$
2) Рассмотрим дробь $$\frac{3x+10}{40-x}.$$
Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны быть одного знака:
$$\begin{cases} 3x+10>0 \\ 40-x>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 3x+10<0 \\ 40-x<0 \end{cases}$$
Из первого случая:
$$x>-\frac{10}{3},\quad x<40,$$
значит, $$x\in\left(-\frac{10}{3};40\right).$$
Во втором случае:
$$x<-\frac{10}{3},\quad x>40,$$
решений нет.
Следовательно,
$$x\in\left(-\frac{10}{3};40\right).$$
3) Рассмотрим дробь $$\frac{x+2}{5-4x}.$$
Составим два случая:
$$\begin{cases} x+2>0 \\ 5-4x>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x+2<0 \\ 5-4x<0 \end{cases}$$
Из первого случая:
$$x>-2,\quad x<\frac54,$$
значит, $$x\in\left(-2;\frac54\right).$$
Во втором случае:
$$x<-2,\quad x>\frac54,$$
решений нет.
Итак,
$$x\in\left(-2;\frac54\right).$$
4) Рассмотрим дробь $$\frac{8-x}{6+3x}.$$
Составим два случая:
$$\begin{cases} 8-x>0 \\ 6+3x>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 8-x<0 \\ 6+3x<0 \end{cases}$$
Из первого случая:
$$x<8,\quad x>-2,$$
значит, $$x\in(-2;8).$$
Во втором случае:
$$x>8,\quad x<-2,$$
решений нет.
Следовательно,
$$x\in(-2;8).$$
Ответ
1) $$x\in\left(-\infty;-\frac57\right)\cup\left(\frac45;+\infty\right).$$
2) $$x\in\left(-\frac{10}{3};40\right).$$
3) $$x\in\left(-2;\frac54\right).$$
4) $$x\in(-2;8).$$
