Упр.1385 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) ctg 2x = 2 ctg x;
3) tg(x+пи/4) + tg(x-пи/4) =2;
4) tg(2x+1)ctg(x+1)=1.

1. $$\tg 2x=3\tg x$$

   $$\frac{2\sin x\cos x}{\cos^2 x-\sin^2 x}-\frac{3\sin x}{\cos x}=0$$
   $$\frac{2\sin x\cos^2 x-3\sin x(\cos^2 x-\sin^2 x)}{\cos x(\cos^2 x-\sin^2 x)}=0$$
   $$\frac{3\sin^3 x-\sin x\cos^2 x}{\cos x\cos 2x}=0$$
   $$\frac{\sin x(3\sin^2 x-\cos^2 x)}{\cos x\cos 2x}=0$$
   $$\frac{\sin x(3-4\cos^2 x)}{\cos x\cos 2x}=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

   $$3-4\cos^2 x=0 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 x=\frac34 \quad \Rightarrow \quad \cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$$
   $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Проверка ОДЗ не исключает найденные значения.

2. $$\ctg 2x=2\ctg x$$

   $$\frac{\cos 2x}{\sin 2x}-\frac{2\cos x}{\sin x}=0$$
   $$\frac{\cos 2x-4\cos^2 x}{2\sin x\cos x}=0$$
   $$\cos^2 x-\sin^2 x-4\cos^2 x=0$$
   $$-3\cos^2 x-\sin^2 x=0$$
   $$1+2\cos^2 x=0$$
   $$\cos^2 x=-\frac12.$$

   Действительных решений нет.

3. $$\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=2$$

   $$\frac{\tg x+1}{1-\tg x}+\frac{\tg x-1}{1+\tg x}=2$$
   $$\frac{(\tg x+1)^2+(\tg x-1)^2}{1-\tg^2 x}=2$$
   $$\frac{2\tg^2 x+2}{1-\tg^2 x}=2$$
   $$2\tg^2 x+4\tg x=0$$
   $$2\tg x(\tg x+2)=0.$$

   Отсюда:

   $$\tg x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

   $$\tg x=-2 \quad \Rightarrow \quad x=-\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

4. $$\tg(2x+1)\ctg(x+1)=1$$

   $$\tg(2x+1)=\tg(x+1)$$
   $$\tg(2x+1)-\tg(x+1)=0$$
   $$\frac{\sin\bigl((2x+1)-(x+1)\bigr)}{\cos(2x+1)\cos(x+1)}=0$$
   $$\frac{\sin x}{\cos(2x+1)\cos(x+1)}=0.$$

   Следовательно,

   $$\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\; x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) решений нет.
3) $$x=\pi n,\; x=-\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
4) $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$