Упр.1385 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\tg 2x=3\tg x$$

Используем формулу $$\tg 2x=\dfrac{2\tg x}{1-\tg^2 x}$$:

$$\dfrac{2\tg x}{1-\tg^2 x}=3\tg x$$

$$2\tg x=3\tg x(1-\tg^2 x)$$

$$2\tg x-3\tg x+3\tg^3 x=0$$

$$\tg x(3\tg^2 x-1)=0$$

Отсюда:

$$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \tg^2 x=\dfrac13$$

Тогда

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$x=\pm \dfrac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$\ctg 2x=2\ctg x$$

Используем формулу $$\ctg 2x=\dfrac{\ctg^2 x-1}{2\ctg x}$$:

$$\dfrac{\ctg^2 x-1}{2\ctg x}=2\ctg x$$

$$\ctg^2 x-1=4\ctg^2 x$$

$$3\ctg^2 x+1=0$$

Реальных решений нет.

$$\tg\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+\tg\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=2$$

Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

$$\tg\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{t+1}{1-t},\qquad \tg\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{t-1}{1+t}$$

Получаем:

$$\dfrac{t+1}{1-t}+\dfrac{t-1}{1+t}=2$$

$$\dfrac{(t+1)^2-(t-1)^2}{1-t^2}=2$$

$$\dfrac{4t}{1-t^2}=2$$

$$2t=1-t^2$$

$$t^2+2t-1=0$$

$$t=-1\pm \sqrt2$$

Значит,

$$\tg x=-1+\sqrt2 \quad \text{или} \quad \tg x=-1-\sqrt2$$

Но удобнее заметить, что исходное уравнение сводится к

$$\tg 2x=1$$

откуда

$$2x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

$$\tg(2x+1)\ctg(x+1)=1$$

Так как $$\ctg(x+1)=\dfrac{1}{\tg(x+1)}$$, то

$$\tg(2x+1)=\tg(x+1)$$

Следовательно,

$$2x+1=x+1+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$