Упр.1384 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\tan^2 3x-4\sin^2 3x=0$$
2. $$\sin x\tan x=\cos x+\tan x$$
3. $$\cot x\left(\cot x+\frac{1}{\sin x}\right)=1$$
4. $$4\cot^2 x=5-\frac{9}{\sin x}$$

1) Рассмотрим уравнение

$$\tg^2 3x-4\sin^2 3x=0.$$

Так как $$\tg^2 3x=\dfrac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x},$$ получаем

$$\dfrac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x}-4\sin^2 3x=0.$$

Умножим на $$\cos^2 3x$$:

$$\sin^2 3x-4\sin^2 3x\cos^2 3x=0,$$

$$\sin^2 3x\bigl(1-4\cos^2 3x\bigr)=0.$$

Отсюда

$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad 1-4\cos^2 3x=0.$$

1) $$\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\dfrac{\pi n}{3}.$$

2) $$1-4\cos^2 3x=0 \Rightarrow \cos^2 3x=\dfrac14 \Rightarrow \cos 3x=\pm\dfrac12.$$

Тогда

$$3x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2\pi n}{3}.$$

Но при $$\cos 3x=0$$ исходное выражение не имеет смысла, а найденные значения этому не противоречат.

2) Решим уравнение

$$\sin x\,\tg x=\cos x+\tg x.$$

Подставим $$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$:

$$\sin x\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}=\cos x+\dfrac{\sin x}{\cos x}.$$

Умножим на $$\cos x$$:

$$\sin^2 x=\cos^2 x+\sin x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\sin^2 x-\cos^2 x-\sin x=0.$$

Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x,$$ получаем

$$2\sin^2 x-\sin x-1=0.$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$2y^2-y-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\dfrac{1-3}{4}=-\dfrac12,\qquad y_2=\dfrac{1+3}{4}=1.$$

1) $$\sin x=-\dfrac12 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x=1 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

но это значение не подходит, так как тогда $$\cos x=0$$ и исходное уравнение не имеет смысла.

3) Решим уравнение

$$\ctg x\left(\ctg x+\dfrac1{\sin x}\right)=1.$$

Запишем через синус и косинус:

$$\dfrac{\cos x}{\sin x}\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}+\dfrac1{\sin x}\right)=1.$$

Тогда

$$\dfrac{\cos^2 x+\cos x}{\sin^2 x}=1,$$

$$\cos^2 x+\cos x-\sin^2 x=0.$$

Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2+y-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=-1,\qquad y_2=\dfrac12.$$

1) $$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x=\dfrac12 \Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Но при $$\sin x=0$$ исходное выражение не имеет смысла, поэтому остаются только значения

$$x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

4) Решим уравнение

$$4\ctg^2 x=5-\dfrac9{\sin x}.$$

Так как $$\ctg^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x},$$ имеем

$$4\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=5-\dfrac9{\sin x}.$$

Умножим на $$\sin^2 x$$:

$$4\cos^2 x=5\sin^2 x-9\sin x.$$

Подставим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$4(1-\sin^2 x)=5\sin^2 x-9\sin x,$$

$$9\sin^2 x-9\sin x-4=0.$$

Пусть $$t=\sin x$$. Тогда

$$9t^2-9t-4=0.$$

$$D=81+144=225,$$

$$t_1=\dfrac{9-15}{18}=-\dfrac13,\qquad t_2=\dfrac{9+15}{18}=\dfrac43.$$

Значение $$\dfrac43$$ не подходит, так как $$|\sin x|\le 1$$. Значит,

$$\sin x=-\dfrac13.$$

Отсюда

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\dfrac13+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\dfrac{\pi n}{3},\; x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

4) $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\dfrac13+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$