Упр.1383 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0$$
2. $$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x=0$$

1) $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0$$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов:

$$(\sin x+\sin 4x)+(\sin 2x+\sin 3x)=0$$

$$2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}+2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$$

$$2\sin \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)=0$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{x}{2}=2\cos x\cos \frac{x}{2}$$

Тогда

$$2\sin \frac{5x}{2}\cdot 2\cos x\cos \frac{x}{2}=0$$

$$\sin \frac{5x}{2}\cdot \cos x\cdot \cos \frac{x}{2}=0$$

Отсюда:

$$\sin \frac{5x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=0$$

Решаем каждое уравнение:

$$\sin \frac{5x}{2}=0 \Rightarrow \frac{5x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{5}$$

$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$\cos \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n$$

2) $$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x=0$$

Сгруппируем и применим формулу суммы косинусов:

$$(\cos x+\cos 4x)+(\cos 2x+\cos 3x)=0$$

$$2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}+2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$$

$$2\cos \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)=0$$

$$\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{x}{2}=2\cos x\cos \frac{x}{2}$$

Тогда

$$\cos \frac{5x}{2}\cdot \cos x\cdot \cos \frac{x}{2}=0$$

Отсюда:

$$\cos \frac{5x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=0$$

Решаем:

$$\cos \frac{5x}{2}=0 \Rightarrow \frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5}$$

$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$\cos \frac{x}{2}=0 \Rightarrow x=\pi+2\pi n$$

Ответ

1) $$x=\frac{2\pi n}{5},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$