Упр.1383 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2)cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0.

1) Преобразуем сумму:

$$ \sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x =2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}+2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2} $$
$$ =2\sin \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}+\cos \frac{3x}{2}\right) =2\sin \frac{5x}{2}\cdot 2\cos x\cos \frac{x}{2} $$
$$ =4\sin \frac{5x}{2}\cos x\cos \frac{x}{2}=0. $$

Отсюда:

$$ \sin \frac{5x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=0. $$

Решаем каждое уравнение:

$$ \sin \frac{5x}{2}=0 \Rightarrow \frac{5x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{5}, $$
$$ \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n, $$
$$ \cos \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n, $$
где $$n\in \mathbb Z$$.

2) Аналогично:

$$ \cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x =2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}+2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2} $$
$$ =2\cos \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}+\cos \frac{3x}{2}\right) =4\cos \frac{5x}{2}\cos x\cos \frac{x}{2}=0. $$

Следовательно,

$$ \cos \frac{5x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=0. $$

Тогда:

$$ \cos \frac{5x}{2}=0 \Rightarrow \frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5}, $$
$$ \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n, $$
$$ \cos \frac{x}{2}=0 \Rightarrow x=\pi+2\pi n, $$
где $$n\in \mathbb Z$$.

Ответ

1) $$x=\frac{2\pi n}{5},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$