Упр.1382 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 2+2cosx=3sincosx+2sinx.

1) $$5+\sin 2x=5(\sin x+\cos x)$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$ 5+2\sin x\cos x=5(\sin x+\cos x) $$
$$ 4+\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x-5(\sin x+\cos x)=0 $$
$$ 4+(\sin x+\cos x)^2-5(\sin x+\cos x)=0 $$

Пусть $$t=\sin x+\cos x$$. Тогда

$$ t^2-5t+4=0 $$
$$ (t-1)(t-4)=0 $$
$$ t=1 \quad \text{или} \quad t=4 $$

Если $$\sin x+\cos x=4$$, то решений нет, так как $$\sin x+\cos x\le \sqrt2$$.

Если $$\sin x+\cos x=1$$, то

$$ \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 $$
$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2} $$
$$ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n $$
$$ x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2) $$2+2\cos x=3\sin x\cos x+2\sin x$$

Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:

$$ 2+2\cos x-3\sin x\cos x-2\sin x=0 $$
$$ 1+\cos x-\frac{3}{2}\sin x\cos x-\sin x=0 $$
$$ 1+\frac{3}{2}(\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x)+2(\cos x-\sin x)=0 $$
$$ 3(\cos x-\sin x)^2+4(\cos x-\sin x)+1=0 $$

Пусть $$t=\cos x-\sin x$$. Тогда

$$ 3t^2+4t+1=0 $$
$$ (3t+1)(t+1)=0 $$
$$ t=-\frac13 \quad \text{или} \quad t=-1 $$

1) Если $$\cos x-\sin x=-1$$, то

$$ \sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1 $$
$$ \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2} $$
$$ x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n $$
$$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n $$

2) Если $$\cos x-\sin x=-\frac13$$, то

$$ \sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac13 $$
$$ \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{3\sqrt2} $$
$$ x+\frac{\pi}{4}=\pm \arccos\left(-\frac{1}{3\sqrt2}\right)+2\pi n $$
$$ x=-\frac{\pi}{4}\pm \arccos\left(-\frac{1}{3\sqrt2}\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

1) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
2) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ -\frac{\pi}{4}\pm \arccos\left(-\frac{1}{3\sqrt2}\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.