Упр.1381 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\cos x \sin 9x = \cos 3x \sin 7x$$
2. $$\sin x \cos 5x = \sin 9x \cos 3x$$

1) Преобразуем произведения в суммы:

$$\cos x\sin 9x=\cos 3x\sin 7x$$

$$\frac12(\sin 10x+\sin 8x)=\frac12(\sin 10x+\sin 4x)$$

$$\sin 8x-\sin 4x=0$$

$$2\cos 6x\sin 2x=0$$

Отсюда

$$\cos 6x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

1) $$\cos 6x=0$$, тогда

$$6x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6}.$$

2) $$\sin 2x=0$$, тогда

$$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Аналогично:

$$\sin x\cos 5x=\sin 9x\cos 3x$$

$$\frac12(\sin 6x-\sin 4x)=\frac12(\sin 12x+\sin 6x)$$

$$-\sin 4x-\sin 12x=0$$

$$\sin 12x+\sin 4x=0$$

$$2\sin 8x\cos 4x=0$$

Отсюда

$$\sin 8x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$

1) $$\sin 8x=0$$, тогда

$$8x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{8}.$$

2) $$\cos 4x=0$$, тогда

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi n}{8},\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\ \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi n}{8},\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$