Упр.1381 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin x cos 5x = sin 9x cos 3x.

1. $$\cos x \cdot \sin 9x=\cos 3x \cdot \sin 7x$$

   Используем формулы произведения в сумму:

   $$ \cos x \sin 9x=\frac12(\sin 10x+\sin 8x), \qquad \cos 3x \sin 7x=\frac12(\sin 10x+\sin 4x) $$

   Тогда

   $$ \sin 10x+\sin 8x=\sin 10x+\sin 4x $$
   $$ \sin 8x-\sin 4x=0 $$

   Преобразуем разность синусов:

   $$ 2\cos 6x \cdot \sin 2x=0 $$

   Отсюда

   $$ \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 6x=0 $$

   $$ \sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in \mathbb Z $$

   $$ \cos 6x=0 \Rightarrow 6x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6}, \quad n\in \mathbb Z $$

2. $$\sin x \cdot \cos 5x=\sin 9x \cdot \cos 3x$$

   Применим формулы произведения в сумму:

   $$ \sin x \cos 5x=\frac12(\sin 6x-\sin 4x), \qquad \sin 9x \cos 3x=\frac12(\sin 12x+\sin 6x) $$

   Тогда

   $$ \sin 6x-\sin 4x=\sin 12x+\sin 6x $$
   $$ -\sin 4x=\sin 12x $$
   $$ \sin 12x+\sin 4x=0 $$

   Преобразуем сумму синусов:

   $$ 2\sin 8x \cdot \cos 4x=0 $$

   Отсюда

   $$ \sin 8x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0 $$

   $$ \sin 8x=0 \Rightarrow 8x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{8}, \quad n\in \mathbb Z $$

   $$ \cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, \quad n\in \mathbb Z $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6}, \quad n\in \mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi n}{8}$$ или $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, \quad n\in \mathbb Z$$