Упр.1379 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin 5x-\sin 3x$$
2. $$\cos 6x+\cos 2x=0$$
3. $$\sin 3x+\cos 7x=0$$
4. $$\sin x=\cos 5x$$

1) $$\sin 5x-\sin 3x=0$$

Используем формулу разности синусов:

$$2\sin \frac{5x-3x}{2}\cos \frac{5x+3x}{2}=0$$

$$2\sin x\cos 4x=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0$$

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb Z$$

2) $$\cos 6x+\cos 2x=0$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$2\cos \frac{6x+2x}{2}\cos \frac{6x-2x}{2}=0$$

$$2\cos 4x\cos 2x=0$$

Отсюда:

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0$$

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb Z$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z$$

3) $$\sin 3x+\cos 7x=0$$

Представим косинус через синус:

$$\sin 3x+\sin \left(\frac{\pi}{2}+7x\right)=0$$

Тогда

$$2\sin \frac{3x+\frac{\pi}{2}+7x}{2}\cos \frac{3x-\left(\frac{\pi}{2}+7x\right)}{2}=0$$

$$2\sin \left(\frac{\pi}{4}+5x\right)\cos \left(\frac{\pi}{4}+2x\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin \left(\frac{\pi}{4}+5x\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos \left(\frac{\pi}{4}+2x\right)=0$$

$$\frac{\pi}{4}+5x=\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\quad n\in \mathbb Z$$

$$\frac{\pi}{4}+2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z$$

4) $$\sin x=\cos 5x$$

Представим косинус через синус:

$$\sin x-\sin \left(\frac{\pi}{2}-5x\right)=0$$

Тогда

$$2\cos \frac{x+\frac{\pi}{2}-5x}{2}\sin \frac{x-\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)}{2}=0$$

$$2\cos \left(\frac{\pi}{4}-2x\right)\sin \left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos \left(\frac{\pi}{4}-2x\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin \left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

$$\frac{\pi}{4}-2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z$$

$$3x-\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\; x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in \mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb Z$$

3) $$x=-\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\; x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb Z$$

4) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\; n\in \mathbb Z$$