Упр.1378 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$4\sin^2 x — 8\sin x\cos x + 10\cos^2 x = 3$$
2. $$3\sin^2 x — 2\sin x\cos x = 1$$

1) Преобразуем уравнение:

$$4\sin^2 x-8\sin x\cos x+10\cos^2 x=3$$

$$4\sin^2 x-8\sin x\cos x+10\cos^2 x-3=0$$

$$4\sin^2 x-8\sin x\cos x+7\cos^2 x=0$$

Так как $$\cos x\neq 0$$, разделим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-8\tg x+7=0$$

Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

$$t^2-8t+7=0$$

$$D=64-28=36$$

$$t_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$

$$t_1=1,\quad t_2=7$$

Следовательно,

$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=7$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$x=\arctg 7+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) Преобразуем уравнение:

$$3\sin^2 x-2\sin x\cos x=1$$

$$3\sin^2 x-2\sin x\cos x-\cos^2 x-\sin^2 x=0$$

$$2\sin^2 x-2\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$

Разделим на $$\cos^2 x$$:

$$2\tg^2 x-2\tg x-1=0$$

Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

$$2t^2-2t-1=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=12$$

$$t_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{1\pm\sqrt3}{2}$$

Значит,

$$\tg x=\frac{1+\sqrt3}{2}\quad \text{или} \quad \tg x=\frac{1-\sqrt3}{2}$$

Отсюда

$$x=\arctg\frac{1+\sqrt3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$x=\arctg\frac{1-\sqrt3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 7+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\arctg\frac{1+\sqrt3}{2}+\pi n,\ \arctg\frac{1-\sqrt3}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$