Упр.1377 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\sin 3x\cos x+\cos 3x\sin x=\cos 2x$$
- $$2+\cos 2x+3\sin x\cos x=\sin 2x$$
1) Преобразуем левую часть:
$$\sin^3 x\cos x+\cos^3 x\sin x=\sin x\cos x(\sin^2 x+\cos^2 x)=\sin x\cos x.$$
Тогда уравнение принимает вид
$$\sin x\cos x=\cos 2x.$$
Используем формулы $$\sin x\cos x=\dfrac{\sin 2x}{2}$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
$$\sin x\cos x(\sin^2 x+\cos^2 x)=\cos^2 x-\sin^2 x,$$
$$\sin^2 x-\cos^2 x+\sin x\cos x=0.$$
Делим на $$\cos^2 x$$ $$\bigl(\cos x\neq 0\bigr)$$:
$$\tg^2 x+\tg x-1=0.$$
Пусть $$\tg x=a$$. Тогда
$$a^2+a-1=0.$$
$$D=1+4=5,$$
$$a_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}.$$
Следовательно,
$$x=\arctg\frac{-1+\sqrt5}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\arctg\frac{-1-\sqrt5}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Преобразуем уравнение:
$$2+\cos^2 x+3\sin x\cos x=\sin^2 x,$$
$$2\cos^2 x+2\sin^2 x+\cos^2 x-\sin^2 x+3\sin x\cos x=0,$$
$$3\cos^2 x+\sin^2 x+3\sin x\cos x=0.$$
Делим на $$\cos^2 x$$ $$\bigl(\cos x\neq 0\bigr)$$:
$$3+\tg^2 x+3\tg x=0.$$
Пусть $$\tg x=a$$. Тогда
$$a^2+3a+3=0.$$
$$D=9-12=-3<0,$$
значит, действительных корней нет.
Ответ: 1) $$x=\arctg\frac{-1+\sqrt5}{2}+\pi n,\; x=\arctg\frac{-1-\sqrt5}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$ 2) решений нет.
