Упр.1376 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 2 sin2 x — cos4 x = 1 — sin4 x.

1) Преобразуем левую часть:

$$ \sin^4 x-\cos^4 x+2\cos^2 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)+2\cos^2 x $$
$$ =\sin^2 x-\cos^2 x+2\cos^2 x=\sin^2 x+\cos^2 x=1. $$
Тогда уравнение принимает вид
$$ 1=\cos 2x. $$
Следовательно,
$$ \cos 2x=1, $$
откуда
$$ 2x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Значит,
$$ x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2) Преобразуем уравнение:

$$ 2\sin^2 x-\cos^4 x=1-\sin^4 x $$
$$ 2\sin^2 x-1-(\cos^4 x-\sin^4 x)=0 $$
$$ 2\sin^2 x-1-(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)=0 $$
$$ 2\sin^2 x-1-(\cos^2 x-\sin^2 x)=0. $$
Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем
$$ 2\sin^2 x-1-\cos^2 x+\sin^2 x=0 $$
$$ 2\sin^2 x-2\cos^2 x=0 $$
$$ \sin^2 x-\cos^2 x=0 $$
$$ -\cos 2x=0. $$
Значит,
$$ \cos 2x=0. $$
Тогда
$$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
и
$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$