Упр.1376 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin^4 x-\cos^4 x+2\cos^2 x=\cos 2x$$
2. $$2\sin^2 x-\cos^4 x=1-\sin^4 x$$

1) Преобразуем левую часть:

$$\sin^4 x-\cos^4 x+2\cos^2 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)+2\cos^2 x$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

$$\sin^2 x-\cos^2 x+2\cos^2 x=\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$1=\cos 2x.$$

Следовательно,

$$\cos 2x=1 \quad \Rightarrow \quad 2x=2\pi n,\ n\in \mathbb{Z},$$

откуда

$$x=\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$

2) Преобразуем уравнение:

$$2\sin^2 x-\cos^4 x=1-\sin^4 x$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2\sin^2 x-1-\bigl(\cos^4 x-\sin^4 x\bigr)=0.$$

Используем формулу разности квадратов:

$$\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)=\cos^2 x-\sin^2 x.$$

Тогда

$$2\sin^2 x-1-\cos^2 x+\sin^2 x=0.$$

С учётом $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ получаем

$$2\sin^2 x-2\cos^2 x=0,$$

то есть

$$\cos 2x=0.$$

Следовательно,

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z},$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z}.$$