Упр.1375 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) 2 sin2 x + sin2 2x
3) 8 sin x cos 2x cos x= корень 3;
4) 4 sin x cos x cos 2x= cos 4x.
$$\sin^3 x+\cos^3 x=0$$
Разложим сумму кубов:
$$\left(\sin x+\cos x\right)\left(\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x\right)=0.$$Тогда
$$\sin x+\cos x=0$$
или
$$\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x=0.$$Из первого уравнения:
$$\tan x=-1,$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$Второе уравнение:
$$1-\sin x\cos x=0,$$
$$\sin x\cos x=1.$$
Но $$|\sin x\cos x|\le \frac12,$$ значит, решений нет.$$2\sin^2 x+\sin^2 2x=2$$
Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$2\sin^2 x+4\sin^2 x\cos^2 x=2.$$Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x,$$ получаем:
$$ 2\sin^2 x+4\sin^2 x(1-\sin^2 x)=2, $$
$$ 2\sin^4 x-3\sin^2 x+1=0. $$Пусть $$y=\sin^2 x$$. Тогда
$$ 2y^2-3y+1=0, $$
$$ (2y-1)(y-1)=0. $$
Отсюда
$$y=\frac12 \quad \text{или} \quad y=1.$$1) Если $$\sin^2 x=\frac12,$$ то
$$\sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2},$$
$$x=\pm \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$2) Если $$\sin^2 x=1,$$ то
$$\sin x=\pm 1,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$$$8\sin x\cos 2x\cos x=\sqrt3$$
Преобразуем:
$$8\sin x\cos x\cos 2x=4\sin 2x\cos 2x=2\sin 4x.$$
Тогда
$$2\sin 4x=\sqrt3,$$
$$\sin 4x=\frac{\sqrt3}{2}.$$Отсюда
$$4x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
значит
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$$$4\sin x\cos x\cos 2x=\cos 4x$$
Так как $$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$ то
$$2\sin 2x\cos 2x=\cos 4x,$$
$$\sin 4x=\cos 4x.$$Тогда
$$\tan 4x=1,$$
$$4x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
- $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
- $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z;\quad x=\pm \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
- $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$
- $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$
