Упр.1374 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\frac{\cos 2x}{1-\sin 2x}=\cos x+\sin x$$

$$\frac{\cos 2x}{1-\sin 2x}=\cos x+\sin x.$$

Умножим обе части на $$1-\sin 2x$$:

$$\cos 2x=(\cos x+\sin x)(1-\sin 2x).$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то

$$1-\sin 2x=1-2\sin x\cos x=(\cos x-\sin x)^2.$$

Тогда

$$\cos 2x=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)^2.$$

Поскольку $$\cos 2x=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x),$$ получаем

$$(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)-(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)^2=0,$$

$$(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)\bigl(1-(\cos x-\sin x)\bigr)=0.$$

Следовательно,

$$\cos 2x\,(1-\cos x+\sin x)=0.$$

Рассмотрим случаи.

1. $$\cos 2x=0.$$

   Тогда

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$1-\cos x+\sin x=0,$$

   то есть

   $$\cos x-\sin x=1.$$

   Используем формулу

   $$\cos x-\sin x=\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

   $$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Отсюда

   $$x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим ОДЗ: $$1-\sin 2x\ne 0,$$ то есть $$\sin 2x\ne 1.$$

Полученные значения этому условию не противоречат.

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; x=2\pi n,\; x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$