Упр.1374 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1374 cos2x/(1-sin2x) =cosx+sinx.

Решим уравнение

$$\frac{\cos 2x}{1-\sin 2x}=\cos x+\sin x.$$

Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$1-\sin 2x$$:

$$\cos 2x=(\cos x+\sin x)(1-\sin 2x).$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то

$$1-\sin 2x=1-2\sin x\cos x=(\cos x-\sin x)^2.$$

Тогда

$$\cos 2x=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)^2.$$

Используем формулу $$\cos 2x=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x).$$ Получаем

$$ (\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)-(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)^2=0,$$

$$ (\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)\bigl(1-(\cos x-\sin x)\bigr)=0.$$

Следовательно,

$$\cos x+\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x-\sin x=0 \quad \text{или} \quad 1-\cos x+\sin x=0.$$

1) $$\cos x+\sin x=0$$

$$\tan x=-1,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x-\sin x=0$$

$$\tan x=1,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$1-\cos x+\sin x=0$$

$$\cos x-\sin x=1.$$

Возведём в квадрат:

$$\cos^2 x-2\sin x\cos x+\sin^2 x=1,$$

$$1-\sin 2x=1,$$

$$\sin 2x=0.$$

Из условия $$\cos x-\sin x=1$$ получаем подходящее решение

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим область допустимых значений: знаменатель не должен обращаться в нуль, то есть

$$1-\sin 2x\ne 0.$$

Для найденных значений это условие выполняется.

Ответ

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$