Упр.1373 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) 2 cos 2x — (корень 6) (cos x — sin x).
$$\sin x+\sin 2x=\cos x+2\cos^2 x$$
Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$\sin x+2\sin x\cos x-\cos x-2\cos^2 x=0$$
$$\sin x(1+2\cos x)-\cos x(1+2\cos x)=0$$
$$\left(\sin x-\cos x\right)\left(1+2\cos x\right)=0$$
Отсюда:
$$\sin x-\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1+2\cos x=0$$
1) $$\sin x=\cos x$$, значит
$$\tg x=1$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$1+2\cos x=0$$, значит
$$\cos x=-\frac12$$
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$2\cos 2x=\sqrt6(\cos x-\sin x)$$
Преобразуем левую часть по формуле $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
$$2(\cos^2 x-\sin^2 x)-\sqrt6(\cos x-\sin x)=0$$
$$2(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-\sqrt6(\cos x-\sin x)=0$$
$$\left(\cos x-\sin x\right)\left(2\cos x+2\sin x-\sqrt6\right)=0$$
Отсюда:
$$\cos x-\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+2\sin x-\sqrt6=0$$
1) $$\cos x=\sin x$$, значит
$$\tg x=1$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$\cos x+\sin x=\frac{\sqrt6}{2}$$
$$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\frac{\sqrt6}{2}$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt3}{2}$$
Тогда
$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{12}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{12}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{12}+2\pi n,\; x=\frac{5\pi}{12}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
