Упр.1373 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin x+\sin 2x=\cos x+2\cos 2x$$
2. $$2\cos 2x-\sqrt{6}(\cos x-\sin x)$$

1) $$\sin x+\sin 2x=\cos x+2\cos^2 x$$

Преобразуем левую и правую части:

$$\sin x+2\sin x\cos x-\cos x-2\cos^2 x=0$$

$$\sin x(1+2\cos x)-\cos x(1+2\cos x)=0$$

$$\bigl(\sin x-\cos x\bigr)\bigl(1+2\cos x\bigr)=0$$

Отсюда:

$$\sin x-\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1+2\cos x=0.$$

1) $$\sin x=\cos x \Rightarrow \tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$1+2\cos x=0 \Rightarrow \cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\cos 2x=\sqrt6(\cos x-\sin x)$$

Используем формулу $$\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x):$$

$$2(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-\sqrt6(\cos x-\sin x)=0$$

$$\bigl(\cos x-\sin x\bigr)\bigl(2\cos x+2\sin x-\sqrt6\bigr)=0$$

Следовательно,

$$\cos x-\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+2\sin x-\sqrt6=0.$$

1) $$\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\cos x+2\sin x=\sqrt6 \Rightarrow \cos x+\sin x=\frac{\sqrt6}{2}.$$

Представим сумму в виде:

$$\cos x+\sin x=\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt6}{2}$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$x-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{5\pi}{12}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{12}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{12}+2\pi n,\; x=\frac{5\pi}{12}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$