Упр.1372 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\operatorname{tg}^3 x+\operatorname{tg}^2 x-2\operatorname{tg}x-2=0$$
2. $$1-\cos x=\operatorname{tg}x-\sin x$$

1) $$\tg^3 x+\tg^2 x-2\tg x-2=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\tg^2 x(\tg x+1)-2(\tg x+1)=0$$

$$(\tg x+1)(\tg^2 x-2)=0$$

Отсюда:

1. $$\tg x+1=0,$$ тогда $$\tg x=-1,$$ значит $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
2. $$\tg^2 x-2=0,$$ тогда $$\tg x=\pm\sqrt2,$$ значит $$x=\pm\arctg\sqrt2+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \pm\arctg\sqrt2+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$1-\cos x=\tg x-\sin x$$

Так как $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x},$$ умножим уравнение на $$\cos x$$:

$$\cos x-\cos^2 x=\sin x-\sin x\cos x$$

$$\cos x-\cos^2 x-\sin x+\sin x\cos x=0$$

$$\cos x(1-\cos x)-\sin x(1-\cos x)=0$$

$$(1-\cos x)(\cos x-\sin x)=0$$

Отсюда:

1. $$1-\cos x=0,$$ значит $$\cos x=1,$$ поэтому $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
2. $$\cos x-\sin x=0,$$ значит $$\tg x=1,$$ поэтому $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$