Упр.1372 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 1 — cos x = tg x — sin x.

1. $$\tg^3 x+\tg^2 x-2\tg x-2=0$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$\tg^2 x(\tg x+1)-2(\tg x+1)=0$$

   $$(\tg x+1)(\tg^2 x-2)=0$$

   Отсюда:

   $$\tg x+1=0 \quad \text{или} \quad \tg^2 x-2=0$$

   1) $$\tg x=-1$$, значит

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

   2) $$\tg^2 x=2$$, значит

   $$\tg x=\pm \sqrt{2}$$

   Тогда

   $$x=\pm \arctg \sqrt{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

2. $$1-\cos x=\tg x-\sin x$$

   Заменим $$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$ и умножим на $$\cos x$$:

   $$\cos x-\cos^2 x=\sin x-\sin x\cos x$$

   Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

   $$\cos x-\cos^2 x-\sin x+\sin x\cos x=0$$

   $$\cos x(1-\cos x)-\sin x(1-\cos x)=0$$

   $$ (1-\cos x)(\cos x-\sin x)=0$$

   Отсюда:

   1) $$1-\cos x=0$$, то есть $$\cos x=1$$, значит

   $$x=2\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

   2) $$\cos x-\sin x=0$$, то есть $$\tg x=1$$, значит

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\pm \arctg \sqrt{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z$$

2) $$x=2\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb Z$$