Упр.1371 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=\sqrt{3}$$
2. $$6\sin x+5\cos x=6$$

1) $$\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=\sqrt{3}$$

Перенесём всё в одну сторону и выразим через $$\sin x$$ и $$\cos x$$:

$$\sqrt{3}(\sin 2x-1)-\cos 2x=0$$

$$\sqrt{3}(2\sin x\cos x-\cos^2 x-\sin^2 x)-(\cos^2 x-\sin^2 x)=0$$

$$-\sqrt{3}(\cos x-\sin x)^2-(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=0$$

$$(\cos x-\sin x)\bigl(\sqrt{3}(\cos x-\sin x)+\cos x+\sin x\bigr)=0$$

Отсюда:

$$\cos x-\sin x=0$$

или

$$\sqrt{3}(\cos x-\sin x)+\cos x+\sin x=0.$$

1) $$\cos x-\sin x=0 \;\Rightarrow\; \tg x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sqrt{3}(\cos x-\sin x)+\cos x+\sin x=0$$

$$\cos x(\sqrt{3}+1)-\sin x(\sqrt{3}-1)=0$$

$$\tg x=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \;\Rightarrow\; x=\arctg\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$6\sin x+5\cos x=6$$

Используем формулы двойного угла:

$$12\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+5\cos^2\frac{x}{2}-5\sin^2\frac{x}{2}=6\cos^2\frac{x}{2}+6\sin^2\frac{x}{2}$$

$$12\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}-11\sin^2\frac{x}{2}=0$$

Разделим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:

$$12\tg\frac{x}{2}-1-11\tg^2\frac{x}{2}=0.$$

Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда

$$11y^2-12y+1=0.$$

$$D=12^2-4\cdot 11\cdot 1=100,$$

$$y_{1,2}=\frac{12\pm 10}{22}.$$

Получаем:

$$y_1=1,\qquad y_2=\frac{1}{11}.$$

Значит,

$$\tg\frac{x}{2}=1 \;\Rightarrow\; \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$\tg\frac{x}{2}=\frac{1}{11} \;\Rightarrow\; \frac{x}{2}=\arctg\frac{1}{11}+\pi n \;\Rightarrow\; x=2\arctg\frac{1}{11}+2\pi n,$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\arctg\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=2\arctg\frac{1}{11}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$