Упр.137 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной данной; найти область определения и множество значений каждой из них:
   1) $$y=3x-1$$;
   2) $$y=\frac{2x-1}{3}$$;
   3) $$y=x^2-1$$ при $$x\ge 0$$;
   4) $$y=(x-1)^2$$ при $$x\ge 1$$;
   5) $$y=x^3-2$$;
   6) $$y=(x-1)^3$$;
   7) $$y=\sqrt{x-1}$$;
   8) $$y=\sqrt{x}+1$$.

1) Для функции $$y=3x-1$$ область определения и множество значений: $$D(y)=\mathbb{R}, \quad E(y)=\mathbb{R}.$$

Найдём обратную функцию:

$$x=3y-1$$

$$3y=x+1$$

$$y=\frac{x+1}{3}$$

Для неё также:

$$D(y)=\mathbb{R}, \quad E(y)=\mathbb{R}.$$

2) Для функции $$y=\frac{2x-1}{3}$$ имеем:

$$D(y)=\mathbb{R}, \quad E(y)=\mathbb{R}.$$

Обратная функция:

$$x=\frac{2y-1}{3}$$

$$3x=2y-1$$

$$2y=3x+1$$

$$y=\frac{3x+1}{2}$$

И для неё:

$$D(y)=\mathbb{R}, \quad E(y)=\mathbb{R}.$$

3) Для функции $$y=x^2-1$$ при $$x\ge 0$$:

$$D(y)=[0;+\infty), \quad E(y)=[-1;+\infty).$$

Обратная функция находится из равенства:

$$x=y^2-1$$

$$y=\sqrt{x+1}$$

Тогда

$$D(y)=[-1;+\infty), \quad E(y)=[0;+\infty).$$

4) Для функции $$y=(x-1)^2$$ при $$x\ge 1$$:

$$D(y)=[1;+\infty), \quad E(y)=[0;+\infty).$$

Обратная функция:

$$x=(y-1)^2$$

$$y=\sqrt{x}+1$$

Следовательно,

$$D(y)=[0;+\infty), \quad E(y)=[1;+\infty).$$

5) Для функции $$y=x^3-2$$:

$$D(y)=\mathbb{R}, \quad E(y)=\mathbb{R}.$$

Обратная функция:

$$x=y^3-2$$

$$y=\sqrt[3]{x+2}$$

И для неё:

$$D(y)=\mathbb{R}, \quad E(y)=\mathbb{R}.$$

6) Для функции $$y=(x-1)^3$$:

$$D(y)=\mathbb{R}, \quad E(y)=\mathbb{R}.$$

Обратная функция:

$$x=(y-1)^3$$

$$y=\sqrt[3]{x}+1$$

Следовательно,

$$D(y)=\mathbb{R}, \quad E(y)=\mathbb{R}.$$

7) Для функции $$y=\sqrt{x-1}$$:

$$D(y)=[1;+\infty), \quad E(y)=[0;+\infty).$$

Обратная функция:

$$x=\sqrt{y-1}$$

$$y=x^2+1$$

Тогда

$$D(y)=[0;+\infty), \quad E(y)=[1;+\infty).$$

8) Для функции $$y=\sqrt{x}+1$$:

$$D(y)=[0;+\infty), \quad E(y)=[1;+\infty).$$

Обратная функция:

$$x=\sqrt{y}+1$$

$$y=(x-1)^2$$

Следовательно,

$$D(y)=[1;+\infty), \quad E(y)=[0;+\infty).$$

Ответ

1) $$y=\frac{x+1}{3}$$; $$D=\mathbb{R},\ E=\mathbb{R}.$$
2) $$y=\frac{3x+1}{2}$$; $$D=\mathbb{R},\ E=\mathbb{R}.$$
3) $$y=\sqrt{x+1}$$; $$D=[-1;+\infty),\ E=[0;+\infty).$$
4) $$y=\sqrt{x}+1$$; $$D=[0;+\infty),\ E=[1;+\infty).$$
5) $$y=\sqrt[3]{x+2}$$; $$D=\mathbb{R},\ E=\mathbb{R}.$$
6) $$y=\sqrt[3]{x}+1$$; $$D=\mathbb{R},\ E=\mathbb{R}.$$
7) $$y=x^2+1$$; $$D=[0;+\infty),\ E=[1;+\infty).$$
8) $$y=(x-1)^2$$; $$D=[1;+\infty),\ E=[0;+\infty).$$