Упр.1368 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) cosx-cos5x=0;
3) sin3x+sinx=2sin2x;
4) sinx + sin2x+sin3x=0.

1. $$\cos x+\cos 2x=0$$

   Используем формулу суммы косинусов:

   $$\cos x+\cos 2x=2\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$

   Отсюда

   $$\cos\frac{3x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{2}=0.$$

   Тогда

   $$\frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z,$$

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n, \quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos x-\cos 5x=0$$

   Применим формулу разности косинусов:

   $$\cos x-\cos 5x=-2\sin\frac{x+5x}{2}\sin\frac{x-5x}{2}=2\sin 3x\sin 2x=0.$$

   Значит,

   $$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

   Отсюда

   $$x=\frac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi m}{2}, \quad m\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x.$$

   Тогда

   $$2\sin 2x\cos x=2\sin 2x,$$

   $$2\sin 2x(\cos x-1)=0.$$

   Следовательно,

   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$

   Но решения $$\cos x=1$$ входят в множество решений $$\sin 2x=0$$, поэтому

   $$x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$

   Сгруппируем первые и третьи слагаемые:

   $$\sin x+\sin 3x+\sin 2x=0,$$

   $$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0,$$

   $$\sin 2x(2\cos x+1)=0.$$

   Отсюда

   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi m, \quad m\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi m}{2},\ n,m\in\mathbb Z.$$

3) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ n,m\in\mathbb Z.$$