Упр.1368 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\cos x+\cos 2x=0$$
2. $$\cos x-\cos 5x=0$$
3. $$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x$$
4. $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$

1) $$\cos x+\cos 2x=0$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos x+\cos 2x=2\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=0.$$

Тогда

$$\cos \frac{3x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=0.$$

1) $$\cos \frac{3x}{2}=0 \Rightarrow \frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}.$$

2) $$\cos \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z,$$

$$x=\pi+2\pi n.$$

2) $$\cos x-\cos 5x=0$$

Применим формулу разности косинусов:

$$\cos x-\cos 5x=-2\sin 3x\sin(-2x)=2\sin 3x\sin 2x=0.$$

Следовательно,

$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

1) $$\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n,\; n\in \mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{3}.$$

2) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi m,\; m\in \mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi m}{2}.$$

3) $$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x.$$

Тогда

$$2\sin 2x\cos x=2\sin 2x,$$

$$2\sin 2x(\cos x-1)=0.$$

Отсюда

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$

Но $$\cos x=1$$ входит в решение $$\sin 2x=0$$, поэтому

$$x=\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb Z.$$

4) $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x.$$

Тогда

$$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0,$$

$$\sin 2x(2\cos x+1)=0.$$

Следовательно,

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0.$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb Z.$$

2) $$2\cos x+1=0 \Rightarrow \cos x=-\frac12,$$

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi m,\; m\in \mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\ \pi+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi m}{2},\ n,m\in \mathbb Z.$$

3) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb Z.$$

4) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ n,m\in \mathbb Z.$$