Упр.1367 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin4x=cos4x-si4x;
3)2cos2x=1+4sin2x;
4) 2cosx + cos2x = 2sinx.

1. $$\sin 2x=3\cos x$$
   $$2\sin x\cos x=3\cos x$$
   $$\cos x(2\sin x-3)=0$$
   Отсюда:
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-3=0.$$
   Второе уравнение решений не имеет, так как
   $$\sin x=\frac{3}{2}$$
   невозможно.
   Поэтому
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$\sin 4x=\cos^4 x-\sin^4 x$$
   Левая часть:
   $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x.$$
   Правая часть:
   $$\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)=\cos 2x.$$
   Тогда
   $$2\sin 2x\cos 2x=\cos 2x,$$
   $$\cos 2x(2\sin 2x-1)=0.$$
   Отсюда:
   $$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=\frac12.$$
   1) Если $$\cos 2x=0,$$ то
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
   2) Если $$\sin 2x=\frac12,$$ то
   $$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
3. $$2\cos^2 x=1+4\sin 2x$$
   Используем формулы $$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x$$ и $$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$:
   $$2\cos^2 x-(\cos^2 x+\sin^2 x)=4\sin 2x,$$
   $$\cos^2 x-\sin^2 x=4\sin 2x,$$
   $$\cos 2x=4\sin 2x.$$
   Делим на $$\sin 2x$$:
   $$\ctg 2x=4.$$
   Тогда
   $$2x=\operatorname{arcctg}4+\pi n,$$
   $$x=\frac12\operatorname{arcctg}4+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
4. $$2\cos x+\cos 2x=2\sin x$$
   Перенесём всё в одну сторону:
   $$2\cos x-2\sin x+\cos 2x=0.$$
   Так как
   $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x),$$
   получаем:
   $$(\cos x-\sin x)(2+\cos x+\sin x)=0.$$
   Отсюда:
   $$\cos x-\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2+\cos x+\sin x=0.$$
   Второе уравнение решений не имеет, так как
   $$\cos x+\sin x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$
   а значит $$\cos x+\sin x=-2$$ невозможно.
   Поэтому
   $$\cos x-\sin x=0,$$
   $$\tg x=1,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
3) $$x=\frac12\operatorname{arcctg}4+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
4) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$