Упр.1366 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin 4x = sin 2x,
3) cos 2x + cos2 x = 0;
4) sin 2x = cos2 x.

1. $$\sin 2x=3\sin x\cos^2 x$$

   $$2\sin x\cos x=3\sin x\cos^2 x$$

   $$\sin x\cos x(2-3\cos x)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac23.$$

   Тогда

   $$x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pm \arccos\frac23+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin 4x=\sin 2x$$

   $$2\sin 2x\cos 2x-\sin 2x=0$$

   $$\sin 2x(2\cos 2x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\frac12.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi n}{2},\quad x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos 2x+\cos^2 x=0$$

   $$\cos^2 x-\sin^2 x+\cos^2 x=0$$

   $$2\cos^2 x-(1-\cos^2 x)=0$$

   $$3\cos^2 x-1=0$$

   $$\cos^2 x=\frac13$$

   $$\cos x=\pm\frac{1}{\sqrt3}$$

   Следовательно,

   $$x=\pm\arccos\frac{1}{\sqrt3}+2\pi n,\quad x=\pm\left(\pi-\arccos\frac{1}{\sqrt3}\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin 2x=\cos^2 x$$

   $$2\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$

   $$\cos x(2\sin x-\cos x)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-\cos x=0.$$

   Первое уравнение даёт

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Во втором случае

   $$2\tan x=1,$$

   значит

   $$x=\arctan\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pm\arccos\frac23+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=\pm\arccos\frac{1}{\sqrt3}+2\pi n,\ \pm\left(\pi-\arccos\frac{1}{\sqrt3}\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \arctan\frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$