Упр.1366 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\sin 2x=3\sin x\cos^2 x$$
- $$\sin 4x=\sin 2x$$
- $$\cos 2x+\cos^2 x=0$$
- $$\sin 2x=\cos^2 x$$
1) $$\sin 2x=3\sin x\cos^2 x$$
$$2\sin x\cos x=3\sin x\cos^2 x$$
$$\sin x\cos x(2-3\cos x)=0$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac23.$$
Следовательно,
$$x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pm \arccos\frac23+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\sin 4x=\sin 2x$$
$$2\sin 2x\cos 2x-\sin 2x=0$$
$$\sin 2x(2\cos 2x-1)=0$$
Отсюда:
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\frac12.$$
Тогда
$$2x=\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
то есть
$$x=\frac{\pi n}{2}\quad \text{или} \quad x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3) $$\cos 2x+\cos^2 x=0$$
$$\cos^2 x-\sin^2 x+\cos^2 x=0$$
$$2\cos^2 x-(1-\cos^2 x)=0$$
$$3\cos^2 x-1=0$$
$$\cos^2 x=\frac13$$
$$\cos x=\pm \frac{1}{\sqrt3}.$$
Следовательно,
$$x=\pm \arccos\frac{1}{\sqrt3}+2\pi n,\quad x=\pm\left(\pi-\arccos\frac{1}{\sqrt3}\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
4) $$\sin 2x=\cos^2 x$$
$$2\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$
$$\cos x(2\sin x-\cos x)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-\cos x=0.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
а из $$2\sin x=\cos x$$ получаем
$$\tan x=\frac12,$$
то есть
$$x=\arctan\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ: 1) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pm \arccos\frac23+2\pi n$$; 2) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$; 3) $$x=\pm \arccos\frac{1}{\sqrt3}+2\pi n,\ \pm\left(\pi-\arccos\frac{1}{\sqrt3}\right)+2\pi n$$; 4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \arctan\frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
