Упр.1365 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$(3-4\sin x)(3+4\cos x)=0$$
- $$(\operatorname{tg} x+3)(\operatorname{tg} x+1)=0$$
1) $$\left(3-4\sin x\right)\left(3+4\cos x\right)=0$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$$3-4\sin x=0 \quad \text{или} \quad 3+4\cos x=0.$$
Решаем первое уравнение:
$$4\sin x=3,$$
$$\sin x=\frac34.$$
Тогда
$$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Решаем второе уравнение:
$$4\cos x=-3,$$
$$\cos x=-\frac34.$$
Тогда
$$x=\pm\arccos\left(-\frac34\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
или, что то же самое,
$$x=\pm\left(\pi-\arccos\frac34\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно,
$$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\quad x=\pm\left(\pi-\arccos\frac34\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\left(\tg x+3\right)\left(\tg x+1\right)=0$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$$\tg x+3=0 \quad \text{или} \quad \tg x+1=0.$$
Решаем первое уравнение:
$$\tg x=-3,$$
$$x=-\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Решаем второе уравнение:
$$\tg x=-1,$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Итак,
$$x=-\arctg 3+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
