Упр.1365 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) (tg x + 3) (tg x + 1) = 0.

1. $$\left(3-4\sin x\right)\left(3+4\cos x\right)=0$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

   $$3-4\sin x=0 \quad \text{или} \quad 3+4\cos x=0$$

   Тогда

   $$\sin x=\frac34 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac34$$

   Отсюда

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   или

   $$x=\pm\arccos\left(-\frac34\right)+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z$$

   Так как

   $$\arccos\left(-\frac34\right)=\pi-\arccos\frac34,$$

   получаем

   $$x=\pm\left(\pi-\arccos\frac34\right)+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z$$

2. $$\left(\tg x+3\right)\left(\tg x+1\right)=0$$

   Произведение равно нулю, если

   $$\tg x+3=0 \quad \text{или} \quad \tg x+1=0$$

   Тогда

   $$\tg x=-3 \quad \text{или} \quad \tg x=-1$$

   Следовательно,

   $$x=-\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   или

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\; x=\pm\left(\pi-\arccos\frac34\right)+2\pi m,\; n,m\in\mathbb Z.$$

2) $$x=-\arctg 3+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$