Упр.1359 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1359 Могут ли корни уравнения (х — m) (х — n) = k2 быть чисто мнимыми, если m, n и k — действительные числа?

Приведём уравнение к стандартному виду:

$$ (x-m)(x-n)=k^2 $$

$$ x^2-(m+n)x+mn-k^2=0 $$

Чтобы корни были чисто мнимыми, у квадратного уравнения должны быть комплексные корни без действительной части, а для этого дискриминант должен быть отрицательным.

Найдём дискриминант:

$$ D=(m+n)^2-4(mn-k^2) $$

$$ D=m^2+2mn+n^2-4mn+4k^2 $$

$$ D=(m-n)^2+4k^2 $$

Так как $$ (m-n)^2 \ge 0 $$ и $$ 4k^2 \ge 0 $$, то

$$ D \ge 0 $$

Следовательно, дискриминант не может быть отрицательным, значит, чисто мнимых корней у этого уравнения быть не может.

Ответ

Не могут.