Упр.1357 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_4\left(2+\sqrt{x+3}\right)=1$$
2. $$\log_{\frac{1}{3}}\left(\sqrt{x^2-2x}\right)=-\frac{1}{2}$$
3. $$\frac{1}{2}\log_3(x+1)=\log_3\left(\sqrt{x+4}\right)-2\log_3\left(\sqrt{2}\right)$$

1) $$\log_{4}\left(2+\sqrt{x+3}\right)=1$$

Так как $$1=\log_{4}4,$$ получаем:

$$\log_{4}\left(2+\sqrt{x+3}\right)=\log_{4}4.$$

Тогда

$$2+\sqrt{x+3}=4,$$

$$\sqrt{x+3}=2,$$

$$x+3=4,$$

$$x=1.$$

Ответ: $$1$$.

2) $$\log_{\frac13}\sqrt{x^2-2x}=-\frac12$$

Представим правую часть в виде логарифма:

$$-\frac12=\log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-\frac12}=\log_{\frac13}\sqrt{3}.$$

Тогда

$$\log_{\frac13}\sqrt{x^2-2x}=\log_{\frac13}\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{3},$$

$$x^2-2x=3,$$

$$x^2-2x-3=0,$$

$$\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0.$$

Отсюда

$$x=-1 \quad \text{или} \quad x=3.$$

Проверка области определения: $$x^2-2x>0,$$ оба корня подходят.

Ответ: $$-1,\ 3$$.

3) $$\frac12\log_{3}(x+1)=\log_{3}\sqrt{x+4}-2\log_{3}\sqrt{2}$$

Преобразуем:

$$\frac12\log_{3}(x+1)=\log_{3}(x+1)^{\frac12},$$

$$2\log_{3}\sqrt{2}=\log_{3}2.$$

Тогда

$$\log_{3}(x+1)^{\frac12}=\log_{3}\sqrt{x+4}-\log_{3}2=\log_{3}\frac{\sqrt{x+4}}{2}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x+1}=\frac{\sqrt{x+4}}{2}.$$

Возведём в квадрат:

$$4(x+1)=x+4,$$

$$4x+4=x+4,$$

$$3x=0,$$

$$x=0.$$

Проверка области определения: $$x+1>0,$$ $$x+4>0,$$ значит $$x=0$$ подходит.

Ответ: $$0$$.