Упр.1355 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$x\lg x=10$$
2. $$x\log_3(x)=9x$$
3. $$x\lg x-1=10\left(1-x^{-\lg x}\right)$$
4. $$x\sqrt{x}=\sqrt{xx}$$

1) $$x^{\lg x}=10.$$

Положим $$t=\lg x,$$ тогда $$x=10^t$$ и

$$x^{\lg x}=(10^t)^t=10^{t^2}.$$

Получаем уравнение

$$10^{t^2}=10^1 \;\Rightarrow\; t^2=1 \;\Rightarrow\; t=\pm1.$$

Тогда

$$\lg x=1 \Rightarrow x=10,$$

$$\lg x=-1 \Rightarrow x=0{,}1.$$

2) $$x^{\log_3 x}=9x.$$

Положим $$t=\log_3 x,$$ тогда $$x=3^t.$$ Подставим:

$$x^{\log_3 x}=(3^t)^t=3^{t^2}, \qquad 9x=3^2\cdot 3^t=3^{t+2}.$$

Значит,

$$3^{t^2}=3^{t+2} \;\Rightarrow\; t^2=t+2 \;\Rightarrow\; t^2-t-2=0.$$

$$t=-1 \text{ или } t=2.$$

Тогда

$$\log_3 x=-1 \Rightarrow x=\frac13,$$

$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9.$$

3) $$x^{\lg x}-1=10\bigl(1-x^{-\lg x}\bigr).$$

Преобразуем:

$$x^{\lg x}-1=10-10x^{-\lg x}$$

$$x^{\lg x}+10x^{-\lg x}-11=0.$$

Положим $$t=x^{\lg x}.$$ Тогда $$x^{-\lg x}=\frac1t,$$ и получаем

$$t+\frac{10}{t}-11=0 \;\Rightarrow\; t^2-11t+10=0.$$

$$t=1 \text{ или } t=10.$$

1) Если $$x^{\lg x}=1,$$ то

$$10^{(\lg x)^2}=10^0 \Rightarrow (\lg x)^2=0 \Rightarrow \lg x=0 \Rightarrow x=1.$$

2) Если $$x^{\lg x}=10,$$ то

$$10^{(\lg x)^2}=10^1 \Rightarrow (\lg x)^2=1 \Rightarrow \lg x=\pm1.$$

Отсюда

$$x=10 \text{ или } x=0{,}1.$$

4) $$x^{\sqrt{x}}=\sqrt{x^x}.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(x^{\sqrt{x}}\right)^2=x^x.$$

Положим $$t=\sqrt{x},$$ тогда $$x=t^2,$$ и уравнение примет вид

$$\left((t^2)^t\right)^2=(t^2)^{t^2}$$

$$t^{4t}=t^{2t^2}.$$

При $$t>0$$ получаем

$$4t=2t^2 \;\Rightarrow\; t^2-2t=0 \;\Rightarrow\; t(t-2)=0.$$

Так как $$t=\sqrt{x}\ge 0,$$ то

$$t=0 \text{ или } t=2.$$

Отсюда

$$x=0 \text{ или } x=4.$$

Проверка: при $$x=0$$ выражение $$x^x$$ не определено, значит этот корень не подходит. Остаётся $$x=4.$$

Ответ: 1) $$x=0{,}1,\;10$$; 2) $$x=\frac13,\;9$$; 3) $$x=1,\;0{,}1,\;10$$; 4) $$x=4$$.