Упр.1354 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 25log3(x) — 4*5log3(x)+1 =125.

1. $$5^{\log_3 x^2}-6\cdot 5^{\log_3 x}+5=0$$

   Положим $$y=5^{\log_3 x}$$. Тогда

   $$5^{\log_3 x^2}=5^{2\log_3 x}=\left(5^{\log_3 x}\right)^2=y^2.$$

   Получаем квадратное уравнение:

   $$y^2-6y+5=0$$

   $$\left(y-1\right)\left(y-5\right)=0$$

   $$y=1 \text{ или } y=5$$

   1) $$5^{\log_3 x}=1$$, значит $$\log_3 x=0$$, откуда $$x=1$$.

   2) $$5^{\log_3 x}=5$$, значит $$\log_3 x=1$$, откуда $$x=3$$.

2. $$25^{\log_3 x}-4\cdot 5^{\log_3 x+1}=125$$

   Положим $$y=5^{\log_3 x}$$. Тогда

   $$25^{\log_3 x}=\left(5^2\right)^{\log_3 x}=\left(5^{\log_3 x}\right)^2=y^2,$$

   а также

   $$5^{\log_3 x+1}=5\cdot 5^{\log_3 x}=5y.$$

   Получаем:

   $$y^2-4\cdot 5y=125$$

   $$y^2-20y-125=0$$

   $$D=20^2+4\cdot 125=900$$

   $$y_{1,2}=\frac{20\pm 30}{2}$$

   $$y_1=25,\quad y_2=-5$$

   Так как $$y=5^{\log_3 x}>0$$, значение $$y=-5$$ не подходит.

   Остаётся:

   $$5^{\log_3 x}=25=5^2$$

   $$\log_3 x=2$$

   $$x=9$$

Ответ

1) $$x=1,\;3$$; 2) $$x=9$$.