Упр.1353 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) lg(x2+19) — lg(x+1)=1.

1. $$\log_2(2x-18)+\log_2(x-9)=5$$

   Объединим логарифмы:

   $$\log_2\bigl((2x-18)(x-9)\bigr)=5$$

   Тогда

   $$ (2x-18)(x-9)=2^5=32 $$

   Раскроем скобки:

   $$2x^2-18x-18x+162=32$$

   $$2x^2-36x+130=0$$

   $$x^2-18x+65=0$$

   $$D=18^2-4\cdot 65=324-260=64$$

   $$x_{1,2}=\frac{18\pm 8}{2}$$

   $$x_1=5,\quad x_2=13$$

   Проверим область допустимых значений:

   $$2x-18>0,\quad x-9>0$$

   Отсюда $$x>9$$. Подходит только $$x=13$$.

2. $$\lg(x^2+19)-\lg(x+1)=1$$

   Объединим логарифмы:

   $$\lg\frac{x^2+19}{x+1}=1$$

   Тогда

   $$\frac{x^2+19}{x+1}=10$$

   $$x^2+19=10(x+1)$$

   $$x^2-10x+9=0$$

   $$D=10^2-4\cdot 9=100-36=64$$

   $$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}$$

   $$x_1=1,\quad x_2=9$$

   ОДЗ: $$x+1>0$$, значит $$x>-1$$. Оба корня подходят.

Ответ

1) $$x=13$$; 2) $$x=1,\; 9$$.