Упр.1352 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2)2lgx=-lg1/(6-x2).

1. $$\lg\left(\frac12+x\right)=\lg\frac12-\lg x$$

   Используем свойство логарифмов:

   $$\lg\frac12-\lg x=\lg\frac{1}{2x}$$

   Тогда

   $$\lg\left(\frac12+x\right)=\lg\frac{1}{2x}$$

   Отсюда

   $$\frac12+x=\frac{1}{2x}$$

   Умножим на $$2x$$:

   $$x+2x^2=1$$

   $$2x^2+x-1=0$$

   Найдём корни:

   $$D=1+8=9$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac12$$

   Проверим область допустимых значений:

   $$\frac12+x>0,\quad x>0$$

   Подходит только $$x=\frac12$$.

2. $$2\lg x=-\lg\frac{1}{6-x^2}$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$2\lg x+\lg\frac{1}{6-x^2}=0$$

   $$\lg x^2+\lg\frac{1}{6-x^2}=0$$

   $$\lg\left(\frac{x^2}{6-x^2}\right)=0$$

   Тогда

   $$\frac{x^2}{6-x^2}=1$$

   $$x^2=6-x^2$$

   $$2x^2=6$$

   $$x^2=3$$

   $$x=\pm\sqrt3$$

   Проверим ОДЗ:

   $$x>0,\quad 6-x^2>0$$

   Подходит только $$x=\sqrt3$$.

Ответ

1) $$x=\frac12$$; 2) $$x=\sqrt3$$.