Упр.1352 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$\lg\left(\frac12+x\right)=\lg\frac12-\lg x$$

Преобразуем правую часть:

$$\lg\left(\frac12+x\right)=\lg\frac{1}{2x}$$

Тогда

$$\frac12+x=\frac{1}{2x}$$

Умножим на $$2x$$:

$$x(1+2x)=1$$

$$2x^2+x-1=0$$

$$D=1+8=9$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=\frac12$$

Проверим область допустимых значений:

$$\frac12+x>0 \Rightarrow x>-\frac12,\qquad x>0$$

Подходит только $$x=\frac12$$.

Ответ: $$\frac12$$

2) $$2\lg x=-\lg\frac{1}{6-x^2}$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2\lg x+\lg\frac{1}{6-x^2}=0$$

$$\lg x^2+\lg\frac{1}{6-x^2}=0$$

$$\lg\left(\frac{x^2}{6-x^2}\right)=\lg 1$$

Следовательно,

$$\frac{x^2}{6-x^2}=1$$

$$x^2=6-x^2$$

$$2x^2=6$$

$$x^2=3$$

$$x=\pm\sqrt3$$

Проверим ОДЗ:

$$x>0,\qquad 6-x^2>0$$

Из найденных корней подходит только $$x=\sqrt3$$.

Ответ: $$\sqrt3$$