Упр.1345 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$5^{2x+5}\cdot 7^{3x+1}=35^{\frac{1}{2}(5x+6)}$$
2. $$0{,}2^{x^2}\cdot 5^{2x+2}=\left(\frac{1}{5}\right)^6$$

1) $$5^{2x+5}\cdot 7^{3x+1}=35^{\frac12(5x+6)}$$

Представим правую часть как произведение степеней с основаниями $$5$$ и $$7$$:

$$35^{\frac12(5x+6)}=(5\cdot 7)^{\frac12(5x+6)}=5^{2.5x+3}\cdot 7^{2.5x+3}$$

Тогда

$$\frac{5^{2x+5}\cdot 7^{3x+1}}{5^{2.5x+3}\cdot 7^{2.5x+3}}=1$$

$$5^{0.5x+2}\cdot 7^{0.5x-2}=1$$

$$5^{0.5x}\cdot \frac{25}{7^{0.5x}\cdot 49}=1$$

$$\frac{5^{0.5x}}{7^{0.5x}}=\frac{25}{49}$$

$$\left(\frac57\right)^{0.5x}=\left(\frac57\right)^2$$

Следовательно,

$$0.5x=2,\quad x=4.$$

2) $$0{,}2^{x^2}\cdot 5^{2x+2}=\left(\frac15\right)^6$$

Так как $$0{,}2=\frac15,$$ получаем

$$\left(\frac15\right)^{x^2}\cdot 5^{2x+2}=5^{-6}$$

$$5^{-x^2}\cdot 5^{2x+2}=5^{-6}$$

$$-x^2+2x+2=-6$$

$$x^2-2x-8=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36$$

$$x=\frac{2\pm 6}{2}$$

$$x_1=-2,\quad x_2=4.$$

Ответ: 1) $$x=4$$; 2) $$x=-2,\ 4$$.