Упр.1343 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$3^{x-7}=81$$
2. $$2^{x^2-5x+6,5}=\sqrt{2}$$
3. $$\left(\frac{1}{4}\cdot4^x\right)^x=2^{2x+6}$$

1) $$3^{x-7}=81$$

Представим число $$81$$ как степень тройки:

$$3^{x-7}=3^4$$

Тогда показатели степеней равны:

$$x-7=4$$

$$x=11$$

2) $$2^{x^2-5x+6,5}=\sqrt{2}$$

Запишем $$\sqrt{2}$$ как степень двойки:

$$2^{x^2-5x+6,5}=2^{\frac12}$$

Следовательно,

$$x^2-5x+6,5=\frac12$$

$$x^2-5x+6=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}$$

$$x_1=2,\quad x_2=3$$

3) $$\left(\frac14\cdot 4^x\right)^x=2^{2x+6}$$

Преобразуем левую часть:

$$\left(4^{-1}\cdot 4^x\right)^x=\left(4^{x-1}\right)^x=4^{x^2-x}$$

Правая часть:

$$2^{2x+6}=(2^2)^{x+3}=4^{x+3}$$

Тогда

$$4^{x^2-x}=4^{x+3}$$

Следовательно,

$$x^2-x=x+3$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=3$$

Ответ: 1) $$11$$; 2) $$2,\,3$$; 3) $$-1,\,3$$.