Упр.1342 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1342. Решить уравнение:
      1) $$\sqrt{2x+7}=x+2$$;
      2) $$x=2-\sqrt{2x-5}$$.

1. $$\sqrt{2x+7}=x+2$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$2x+7=(x+2)^2$$

   $$2x+7=x^2+4x+4$$

   $$x^2+2x-3=0$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16$$

   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$

   $$x_1=1,\quad x_2=-3$$

   Проверим область допустимых значений:

   $$2x+7\ge 0 \Rightarrow x\ge -\frac{7}{2}$$

   $$x+2\ge 0 \Rightarrow x\ge -2$$

   Подходит только $$x=1$$.

2. $$x=2-\sqrt{2x-5}$$

   Перенесём корень в другую сторону:

   $$\sqrt{2x-5}=2-x$$

   Тогда получаем систему:

   $$\begin{cases} 2x-5=(2-x)^2,\\ 2-x\ge 0 \end{cases}$$

   $$2x-5=4-4x+x^2$$

   $$x^2-6x+9=0$$

   $$\left(x-3\right)^2=0$$

   $$x=3$$

   Но из условия $$2-x\ge 0$$ следует $$x\le 2$$. Значит, найденное значение не подходит.

Ответ: 1) $$x=1$$; 2) корней нет.