Упр.1337 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1337 Доказать, что корни уравнения ах2 + bх + а = 0 есть взаимно обратные числа, если а =/ 0.

Рассмотрим уравнение $$ax^2+bx+a=0,$$ где $$a\ne 0.$$

По формуле корней квадратного уравнения получаем:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}.$$

Найдём произведение корней:

$$ x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{b^2-4a^2}}{2a} =\frac{b^2-(b^2-4a^2)}{4a^2}=1. $$

Значит, $$x_1x_2=1,$$ то есть $$x_1=\frac{1}{x_2}$$ и $$x_2=\frac{1}{x_1}.$$ Следовательно, корни уравнения являются взаимно обратными числами.

Ответ

Корни уравнения $$ax^2+bx+a=0$$ при $$a\ne 0$$ являются взаимно обратными, так как их произведение равно $$1.$$