Упр.1337 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что корни уравнения $$ax^2+bx+a=0$$ есть взаимно обратные числа, если $$a\ne0$$.

Рассмотрим уравнение $$ax^2+bx+a=0,\quad a\ne 0.$$

По формуле корней квадратного уравнения имеем:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}.$$

Найдём произведение корней:

$$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{b^2-4a^2}}{2a} =\frac{b^2-(b^2-4a^2)}{4a^2}=1.$$

Следовательно, $$x_1x_2=1,$$ значит, $$x_1=\frac{1}{x_2}$$ и $$x_2=\frac{1}{x_1}.$$ Поэтому корни уравнения являются взаимно обратными числами.

Ответ

Корни уравнения взаимно обратны, так как их произведение равно $$1.$$