Упр.1335 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$x^2+ax-b^2+\frac{a^2}{4}=0$$
2. $$\frac{2x}{2x-a}-\frac{x}{2x+a}=\frac{5a^2}{4x^2-a^2}$$

1) Рассмотрим уравнение

$$x^2+ax-b^2+\frac{a^2}{4}=0.$$

Перепишем его в виде

$$x^2+ax-\left(b^2-\frac{a^2}{4}\right)=0.$$

Тогда дискриминант равен

$$D=a^2+4\left(b^2-\frac{a^2}{4}\right)=a^2+4b^2-a^2=4b^2.$$

Следовательно,

$$x=\frac{-a\pm\sqrt{4b^2}}{2}=\frac{-a\pm 2b}{2}=-\frac{a}{2}\pm b.$$

Ответ: $$x=-\frac{a}{2}\pm b.$$

2) Решим уравнение

$$\frac{2x}{2x-a}-\frac{x}{2x+a}=\frac{5a^2}{4x^2-a^2}.$$

ОДЗ: $$2x-a\ne 0,$$ $$2x+a\ne 0,$$ то есть $$4x^2-a^2\ne 0.$$

Умножим обе части на $$4x^2-a^2=(2x-a)(2x+a):$$

$$2x(2x+a)-x(2x-a)=5a^2.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$4x^2+2ax-2x^2+ax=5a^2,$$

$$2x^2+3ax-5a^2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(3a)^2-4\cdot 2\cdot(-5a^2)=9a^2+40a^2=49a^2.$$

Тогда

$$x=\frac{-3a\pm 7a}{4}.$$

Получаем корни:

$$x_1=a,\qquad x_2=-\frac{5a}{2}.$$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ при тех значениях параметра, когда знаменатели не обращаются в нуль.

Ответ: $$x=a,\; -\frac{5a}{2}.$$