Упр.1329 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1}=0.$$

ОДЗ: $$x\neq -1,\quad x\neq 1.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x(x-1)+x(x+1)}{(x+1)(x-1)}=0.$$

Тогда числитель должен быть равен нулю:

$$x(x-1)+x(x+1)=0,$$

$$x^2-x+x^2+x=0,$$

$$2x^2=0,$$

$$x=0.$$

Это значение удовлетворяет ОДЗ.

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac{3x^2}{3x-1}-2=\frac{2x+1}{3x+1}.$$

ОДЗ: $$3x-1\neq 0,\quad 3x+1\neq 0,$$ то есть $$x\neq \frac13,\quad x\neq -\frac13.$$

Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$\left(3x-1\right)\left(3x+1\right):$$

$$3x^2(3x+1)-2(3x-1)(3x+1)-(2x+1)(3x-1)=0.$$

Раскроем скобки:

$$9x^3+3x^2-2(9x^2-1)-(6x^2-x-1)=0,$$

$$9x^3+3x^2-18x^2+2-6x^2+x+1=0,$$

$$9x^3-21x^2+x+3=0.$$

Проверим целые корни. При $$x=1$$ получаем:

$$9-21+1+3=-8\neq 0.$$

При $$x=-1$$:

$$-9-21-1+3=-28\neq 0.$$

При $$x=3$$:

$$243-189+3+3=60\neq 0.$$

Рациональных корней, удовлетворяющих ОДЗ, нет, значит уравнение решений не имеет.

Ответ: 1) $$x=0$$; 2) решений нет.