Упр.1320 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) cos3xcos6xcos12x=sin24x/8sin3x.

1. Преобразуем левую часть:

   $$4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)$$

   Используем формулу

   $$2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B).$$

   Тогда

   $$2\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\cos(-2x)-\cos\frac{2\pi}{3}=\cos 2x-\cos\frac{2\pi}{3}.$$

   Следовательно,

   $$4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=2\sin x\left(\cos 2x-\cos\frac{2\pi}{3}\right).$$

   Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ получаем

   $$2\sin x\left(\cos 2x+\frac12\right)=\sin x(2\cos 2x+1).$$

   Далее

   $$2\cos 2x+1=2(1-2\sin^2 x)+1=3-4\sin^2 x,$$

   поэтому

   $$\sin x(2\cos 2x+1)=\sin x(3-4\sin^2 x)=3\sin x-4\sin^3 x.$$

   По формуле синуса тройного угла

   $$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x.$$

   Значит,

   $$4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\sin 3x.$$

2. Преобразуем левую часть второго тождества:

   $$\cos 3x\cos 6x\cos 12x.$$

   Умножим обе части на $$8\sin 3x$$:

   $$8\sin 3x\cos 3x\cos 6x\cos 12x.$$

   Используем формулу $$2\sin a\cos a=\sin 2a$$ последовательно:

   $$8\sin 3x\cos 3x\cos 6x\cos 12x=4\sin 6x\cos 6x\cos 12x$$

   $$=2\sin 12x\cos 12x=\sin 24x.$$

   Следовательно,

   $$\cos 3x\cos 6x\cos 12x=\frac{\sin 24x}{8\sin 3x}.$$

Ответ

1) $$4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\sin 3x$$

2) $$\cos 3x\cos 6x\cos 12x=\frac{\sin 24x}{8\sin 3x}$$