Упр.1320 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\sin 3x$$
2. $$\cos 3x\cos 6x\cos 12x=\frac{\sin 24x}{8\sin 3x}$$

1) Преобразуем левую часть:

$$4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)$$

$$=4\sin x\cdot \frac12\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}-x-\frac{\pi}{3}-x\right)-\cos\left(\frac{\pi}{3}-x+\frac{\pi}{3}+x\right)\right)$$

$$=2\sin x\left(\cos(-2x)-\cos\frac{2\pi}{3}\right)$$

$$=2\sin x\left(\cos 2x+\frac12\right)$$

$$=\sin x\,(2\cos 2x+1).$$

Так как $$\cos 2x=1-2\sin^2 x,$$ то

$$\sin x\,(2\cos 2x+1)=\sin x\,(2(1-2\sin^2 x)+1)=\sin x\,(3-4\sin^2 x).$$

Следовательно,

$$\sin x\,(3-4\sin^2 x)=3\sin x-4\sin^3 x=\sin 3x.$$

Тождество доказано.

2) Умножим обе части тождества на $$8\sin 3x$$:

$$8\sin 3x\cdot \cos 3x\cdot \cos 6x\cdot \cos 12x=\sin 24x.$$

Используем формулы двойного угла:

$$8\sin 3x\cos 3x=4\sin 6x,$$

тогда

$$4\sin 6x\cos 6x\cos 12x=\sin 24x.$$

Далее

$$2\sin 12x\cos 12x=\sin 24x,$$

а значит,

$$\cos 3x\cos 6x\cos 12x=\frac{\sin 24x}{8\sin 3x}.$$

Тождество доказано.