Упр.1319 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1319

1. $$\frac{1-2\sin^2 a}{1+\sin 2a}=\frac{1-\tg a}{1+\tg a}.$$

   Преобразуем левую часть:
   $$\frac{1-2\sin^2 a}{1+\sin 2a}=\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{(\cos a+\sin a)^2}=\frac{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}{(\cos a+\sin a)^2}=\frac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}.$$

   Тогда
   $$\frac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}=\frac{1-\tg a}{1+\tg a}.$$
   Тождество доказано.

2. $$\frac{1}{4\sin^2 a\cdot \cos^2 a}=1+\frac{(1-\tg^2 a)^2}{4\tg^2 a}.$$

   Левая часть:
   $$\frac{1}{4\sin^2 a\cdot \cos^2 a}=\frac{1}{\sin^2 2a}=\ctg^2 2a+1.$$

   Правая часть:
   $$1+\frac{(1-\tg^2 a)^2}{4\tg^2 a}=1+\left(\frac{1-\tg^2 a}{2\tg a}\right)^2=1+\left(\frac{1}{\tg 2a}\right)^2=1+\ctg^2 2a.$$
   Тождество доказано.

3. $$\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a}.$$

   Преобразуем левую часть:
   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}=\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}.$$

   Преобразуем правую часть:
   $$\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{(\sin a+\cos a)^2}{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}=\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}.$$
   Тождество доказано.

4. $$\frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a}=\ctg^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right).$$

   Левая часть:
   $$\frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a}=\frac{(\cos a-\sin a)^2}{(\cos a+\sin a)^2}.$$

   Правая часть:
   $$\ctg^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}=\frac{(\cos a-\sin a)^2}{(\cos a+\sin a)^2}.$$
   Тождество доказано.

Ответ

Все четыре тождества доказаны.