Упр.1318 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1318 1+cosa+cos2a=4cosacos(пи/6+a/2)cos(пи/6-a/2).

Преобразуем правую часть тождества:

$$ 4\cos a \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{a}{2}\right) $$

$$ =4\cos a \cdot \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}+\frac{\pi}{6}-\frac{a}{2}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}\right)\right) $$

$$ =4\cos a \cdot \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{3}+\cos a\right) $$

$$ =2\cos a\left(\frac{1}{2}+\cos a\right) $$

$$ =\cos a+2\cos^2 a $$

Используем формулу двойного угла:

$$ \cos 2a=2\cos^2 a-1 $$

Тогда

$$ \cos a+2\cos^2 a=1+\cos a+\cos 2a. $$

Следовательно,

$$ 1+\cos a+\cos 2a=4\cos a\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{a}{2}\right). $$

Ответ

Тождество доказано.