Упр.1315 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
$$\frac{2}{\tg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\alpha}{2}}=\sin \alpha$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{2}{\tg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\alpha}{2}}=\frac{2}{\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}+\frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}}$$
$$=\frac{2}{\frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}+\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}}}=\frac{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}+\cos^2 \frac{\alpha}{2}}$$
$$=2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}=\sin \alpha.$$
Тождество доказано.
$$\frac{\ctg \alpha-\tg \alpha}{\ctg \alpha+\tg \alpha}=\cos 2\alpha$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{\ctg \alpha-\tg \alpha}{\ctg \alpha+\tg \alpha}=\frac{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}-\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}$$
$$=\frac{\frac{\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha}{\sin \alpha\cos \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha}{\sin \alpha\cos \alpha}}=\frac{\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha}$$
$$=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=\cos 2\alpha.$$
Тождество доказано.
