Упр.1312 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1312

Подробный ответ

Преобразуем левую часть тождества, используя формулы для тангенса суммы и разности:

$$ \frac{\tg(\alpha-\beta)+\tg\beta}{\tg(\alpha+\beta)-\tg\beta} = \left(\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}+\tg\beta\right) : \left(\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}-\tg\beta\right) $$

$$ = \frac{\tg\alpha-\tg\beta+\tg\beta+\tg\alpha\cdot\tg^2\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta} : \frac{\tg\alpha+\tg\beta-\tg\beta+\tg\alpha\cdot\tg^2\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta} $$

$$ = \frac{\tg\alpha(1+\tg^2\beta)}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta} \cdot \frac{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}{\tg\alpha(1+\tg^2\beta)} = \frac{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta} $$

Теперь выразим тангенсы через синусы и косинусы:

$$ \frac{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta} = \frac{1-\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{1+\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} = \frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta} $$

По формулам сложения и вычитания:

$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta $$

Следовательно,

$$ \frac{\tg(\alpha-\beta)+\tg\beta}{\tg(\alpha+\beta)-\tg\beta} = \frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)} $$

Тождество доказано.