Упр.1309 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1309

1. $$\frac{\sqrt{2}-\cos x-\sin x}{\sin x-\cos x}$$

   Используем формулы:
   $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,\qquad \sin x-\cos x=2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{4}$$
   и
   $$\sqrt{2}=2\sin\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда
   $$ \frac{\sqrt{2}-\cos x-\sin x}{\sin x-\cos x} = \frac{\sqrt{2}-\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin x\right)}{\sin x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} $$
   $$ = \frac{\sqrt{2}-2\sin\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)} $$
   $$ = \frac{1-\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}. $$

2. $$\frac{1+\cos x+\sin x+\tg x}{\sin x+\cos x}$$

   Так как $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x},$$ получаем
   $$ \frac{1+\cos x+\sin x+\tg x}{\sin x+\cos x} = \frac{1+\cos x+\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x+\cos x}. $$
   Приведём числитель к общему знаменателю:
   $$ = \frac{\cos x+\cos^2 x+\sin x\cos x+\sin x}{\cos x(\sin x+\cos x)}. $$
   Сгруппируем:
   $$ = \frac{(\cos x+\sin x)+\cos x(\cos x+\sin x)}{\cos x(\sin x+\cos x)} = \frac{(1+\cos x)(\sin x+\cos x)}{\cos x(\sin x+\cos x)}. $$
   Сокращаем на $$\sin x+\cos x$$:
   $$ =\frac{1+\cos x}{\cos x}=1+\frac{1}{\cos x}. $$

Ответ

1) $$\frac{1-\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}$$

2) $$1+\frac{1}{\cos x}$$