Упр.1308 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1308

1. $$\frac{4\sin^2\alpha-\sin^22\alpha}{4-4\sin^2\alpha-\sin^22\alpha}$$
   Используем формулу $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$, тогда
   $$\sin^22\alpha=4\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$
   Получаем:
   $$\frac{4\sin^2\alpha-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{4-4\sin^2\alpha-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}= \frac{4\sin^2\alpha(1-\cos^2\alpha)}{4\cos^2\alpha(1-\sin^2\alpha)}.$$
   Так как $$1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$$ и $$1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$$, то
   $$\frac{4\sin^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}{4\cos^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}= \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha}=\tg^4\alpha.$$

2. $$\frac{\tg^22\alpha\cdot\tg^2\alpha-1}{\tg^2\alpha-\tg^22\alpha}$$
   Используем формулу
   $$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha},$$
   тогда
   $$\tg^22\alpha=\frac{4\tg^2\alpha}{(1-\tg^2\alpha)^2}.$$
   Подставим:
   $$ \frac{\frac{4\tg^2\alpha}{(1-\tg^2\alpha)^2}\cdot\tg^2\alpha-1}{\tg^2\alpha-\frac{4\tg^2\alpha}{(1-\tg^2\alpha)^2}} = \frac{4\tg^4\alpha-(1-\tg^2\alpha)^2}{(1-\tg^2\alpha)^2} : \frac{\tg^2\alpha(1-\tg^2\alpha)^2-4\tg^2\alpha}{(1-\tg^2\alpha)^2}. $$
   После упрощения:
   $$ \frac{3\tg^4\alpha+2\tg^2\alpha-1}{\tg^2\alpha(\tg^4\alpha-2\tg^2\alpha-3)}. $$
   Разложим на множители:
   $$ 3\tg^4\alpha+2\tg^2\alpha-1=(3\tg^2\alpha-1)(\tg^2\alpha+1), $$
   $$ \tg^4\alpha-2\tg^2\alpha-3=(\tg^2\alpha+1)(\tg^2\alpha-3). $$
   Тогда
   $$ \frac{(3\tg^2\alpha-1)(\tg^2\alpha+1)}{\tg^2\alpha(\tg^2\alpha+1)(\tg^2\alpha-3)} = \frac{3\tg^2\alpha-1}{\tg^2\alpha(\tg^2\alpha-3)}. $$
   Преобразуем:
   $$ \frac{3\tg^2\alpha-1}{\tg^2\alpha(\tg^2\alpha-3)} = \frac{1-3\tg^2\alpha}{\tg^2\alpha(3-\tg^2\alpha)} = \ctg\alpha\cdot\ctg 3\alpha. $$

Ответ

1) $$\tg^4\alpha$$
2) $$\ctg\alpha\cdot\ctg 3\alpha$$