Упр.1307 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1307

1. $$\frac{\cos 4a-\cos 2a}{\sin 3a\cdot \sin a}$$

   Используем формулу разности косинусов:
   $$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}.$$

   Тогда
   $$\cos 4a-\cos 2a=-2\sin 3a\sin a,$$
   и
   $$ \frac{\cos 4a-\cos 2a}{\sin 3a\cdot \sin a} = \frac{-2\sin 3a\sin a}{\sin 3a\cdot \sin a} =-2. $$

2. $$\frac{1+\cos a+\cos 2a+\cos 3a}{\cos a+2\cos^2 a-1}$$

   Преобразуем числитель и знаменатель:
   $$1+\cos 2a=2\cos^2 a,$$
   $$\cos a+\cos 3a=2\cos 2a\cos a.$$

   Тогда
   $$ 1+\cos a+\cos 2a+\cos 3a = (1+\cos 2a)+(\cos a+\cos 3a) = 2\cos^2 a+2\cos 2a\cos a $$
   $$ =2\cos a(\cos a+\cos 2a). $$

   А знаменатель:
   $$ \cos a+2\cos^2 a-1=\cos a+\cos 2a. $$

   Следовательно,
   $$ \frac{1+\cos a+\cos 2a+\cos 3a}{\cos a+2\cos^2 a-1} = \frac{2\cos a(\cos a+\cos 2a)}{\cos a+\cos 2a} =2\cos a. $$

Ответ

1) $$-2$$
2) $$2\cos a$$