Упр.1304 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1304—1309. Упростить выражение.

Преобразуем выражение, используя тригонометрические формулы:

$$\frac{5\cos x-3\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin(-x)}-\frac{\sin 2x-8\sin^2 x}{\cos 2x}$$

Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$$ и $$\sin(-x)=-\sin x,$$ получаем:

$$\frac{5\cos x-3\sin x}{\cos x-\sin x}-\frac{\sin 2x-8\sin^2 x}{\cos 2x}$$

Кроме того, $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ а $$8\sin^2 x=8(1-\cos^2 x).$$ Тогда

$$\frac{5\cos x-3\sin x}{\cos x-\sin x}-\frac{2\sin x\cos x-8(1-\cos^2 x)}{\cos 2x}$$

Приведём к общему знаменателю и упростим числитель:

$$\frac{(5\cos x-3\sin x)(\cos x+\sin x)-\sin 2x+8\sin^2 x}{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}$$

$$=\frac{5\cos^2 x+5\sin x\cos x-3\sin x\cos x-3\sin^2 x-2\sin x\cos x+8\sin^2 x}{\cos^2 x-\sin^2 x}$$

$$=\frac{5\cos^2 x+5\sin^2 x}{\cos 2x} =\frac{5(\cos^2 x+\sin^2 x)}{\cos 2x} =\frac{5}{\cos 2x}$$

Ответ: $$\frac{5}{\cos 2x}$$