Упр.1304 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1304

Используем тригонометрические формулы:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x,\qquad \sin 2x=2\sin x\cos x,\qquad \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x.$$

Тогда

$$ \frac{5\cos x-3\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin(-x)}-\frac{\sin 2x-8\sin^2 x}{\cos 2x} = \frac{5\cos x-3\sin x}{\cos x-\sin x}-\frac{\sin 2x-8\sin^2 x}{\cos 2x}. $$

Преобразуем вторую дробь:

$$ \sin 2x-8\sin^2 x=2\sin x\cos x-8\sin^2 x. $$

Приведём выражение к общему знаменателю $$\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$$:

$$ \frac{(5\cos x-3\sin x)(\cos x+\sin x)-\sin 2x+8\sin^2 x}{\cos 2x}. $$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$ (5\cos x-3\sin x)(\cos x+\sin x)-\sin 2x+8\sin^2 x $$

$$ =5\cos^2 x+5\sin x\cos x-3\sin x\cos x-3\sin^2 x-2\sin x\cos x+8\sin^2 x $$

$$ =5\cos^2 x+5\sin^2 x=5(\cos^2 x+\sin^2 x)=5. $$

Следовательно,

$$ \frac{5}{\cos 2x}. $$

Ответ

$$\frac{5}{\cos 2x}$$