Упр.1303 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1303 Доказать тождество:

1. Преобразуем левую часть первого тождества:

   $$ \frac{1-\cos(2\pi-2a)}{1-\cos^2(a+\pi)} = \frac{1-\cos 2a}{1-(-\cos a)^2} = \frac{1-\cos 2a}{1-\cos^2 a} $$

   Используем формулу $$1-\cos 2a=2\sin^2 a$$ и тождество $$1-\cos^2 a=\sin^2 a$$:

   $$ \frac{1-\cos 2a}{1-\cos^2 a} = \frac{2\sin^2 a}{\sin^2 a} =2 $$

   Тождество доказано.

2. Преобразуем левую часть второго тождества:

   $$ \frac{\sin^2(a+90^\circ)}{1+\sin(-a)} = \frac{\cos^2 a}{1-\sin a} = \frac{1-\sin^2 a}{1-\sin a} $$

   Разложим числитель:

   $$ \frac{(1-\sin a)(1+\sin a)}{1-\sin a} =1+\sin a $$

   Правая часть:

   $$ 1+\cos(a-90^\circ)=1+\sin a $$

   Следовательно, обе части равны, тождество доказано.

Ответ

1) $$\frac{1-\cos(2\pi-2a)}{1-\cos^2(a+\pi)}=2$$

2) $$\frac{\sin^2(a+90^\circ)}{1+\sin(-a)}=1+\cos(a-90^\circ)$$