Упр.1300 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\frac{\tg^2 \alpha}{1+\ctg^2 \alpha}=\frac{\tg^2 \alpha}{1+\frac{1}{\tg^2 \alpha}}=\frac{\tg^2 \alpha}{\frac{\tg^2 \alpha+1}{\tg^2 \alpha}}=\frac{\tg^4 \alpha}{\tg^2 \alpha+1}.$$

Так как $$1+\tg^2 \alpha=\frac{1}{\cos^2 \alpha},$$ то

$$\frac{\tg^4 \alpha}{\tg^2 \alpha+1}=\tg^4 \alpha \cdot \cos^2 \alpha=\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^4 \alpha}\cdot \cos^2 \alpha=\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}=\tg^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha.$$

Ответ: $$\tg^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha.$$

$$\frac{1+\ctg^2 \alpha}{\ctg^2 \alpha}=\frac{1+\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}=\frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}=\frac{1}{\cos^2 \alpha}.$$

Ответ: $$\frac{1}{\cos^2 \alpha}.$$

$$\frac{\tg \alpha-\tg \beta}{\ctg \alpha+\ctg \beta}=\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}-\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}$$

$$=\frac{\sin \alpha \cos \beta-\sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta}\cdot \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha}.$$

Используем формулы:

$$\sin \alpha \cos \beta-\sin \beta \cos \alpha=\sin(\alpha-\beta),$$

$$\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha=\sin(\alpha+\beta).$$

Тогда

$$\frac{\tg \alpha-\tg \beta}{\ctg \alpha+\ctg \beta}=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot \tg \alpha \cdot \tg \beta.$$

Далее

$$\tg \alpha \cdot \tg \beta=\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta},$$

и после преобразований получаем

$$\frac{\tg \alpha-\tg \beta}{\ctg \alpha+\ctg \beta}=\tg(\alpha+\beta)\cdot \tg \beta.$$

Ответ: $$\tg(\alpha+\beta)\cdot \tg \beta.$$

$$\left(\tg \alpha+\ctg \alpha\right)^2-\left(\tg \alpha-\ctg \alpha\right)^2$$

Используем формулу разности квадратов:

$$\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2=4ab.$$

Тогда

$$\left(\tg \alpha+\ctg \alpha\right)^2-\left(\tg \alpha-\ctg \alpha\right)^2=4\,\tg \alpha \cdot \ctg \alpha=4.$$

Ответ: $$4.$$