Упр.1300 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1300 4)(tga+ctga)2 — (tga-ctga)2.

1. $$\frac{\tg^2 \alpha}{1+\ctg^2 \alpha}=\frac{\tg^2 \alpha}{1+\frac{1}{\tg^2 \alpha}}=\frac{\tg^4 \alpha}{\tg^2 \alpha+1}$$

   Так как $$1+\tg^2 \alpha=\frac{1}{\cos^2 \alpha},$$ то
   $$\frac{\tg^4 \alpha}{\tg^2 \alpha+1}=\tg^4 \alpha \cdot \cos^2 \alpha=\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^4 \alpha}\cdot \cos^2 \alpha=\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}=\tg^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha.$$

2. $$\frac{1+\ctg^2 \alpha}{\ctg^2 \alpha}=\frac{1+\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}=\frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}=\frac{1}{\cos^2 \alpha}.$$

3. $$\frac{\tg \alpha-\tg \beta}{\ctg \alpha+\ctg \beta}= \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}-\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}= \frac{\sin \alpha \cos \beta-\sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta}\cdot \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha}.$$

   Используем формулы разности и суммы синусов:
   $$\sin \alpha \cos \beta-\sin \beta \cos \alpha=\sin(\alpha-\beta),$$
   $$\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha=\sin(\alpha+\beta).$$

   Тогда
   $$\frac{\tg \alpha-\tg \beta}{\ctg \alpha+\ctg \beta} =\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot \tg \alpha \cdot \tg \beta =\tg(\alpha+\beta)\cdot \tg \beta.$$

4. $$\left(\tg \alpha+\ctg \alpha\right)^2-\left(\tg \alpha-\ctg \alpha\right)^2$$

   По формуле разности квадратов:
   $$\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2=4ab.$$
   Поэтому
   $$\left(\tg \alpha+\ctg \alpha\right)^2-\left(\tg \alpha-\ctg \alpha\right)^2=4\,\tg \alpha \cdot \ctg \alpha=4.$$

Ответ

1) $$\tg^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha$$
2) $$\frac{1}{\cos^2 \alpha}$$
3) $$\tg(\alpha+\beta)\cdot \tg \beta$$
4) $$4$$