Упр.130 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти координаты точки пересечения графиков функций:

1. $$y=\sqrt[5]{x}$$ и $$y=x^{\frac{3}{5}}$$;
2. $$y=\sqrt[7]{x}$$ и $$y=x^{\frac{5}{7}}$$.

1) Приравняем значения функций:

$$\sqrt[5]{x}=x^{\frac35}$$

Так как $$\sqrt[5]{x}=x^{\frac15}$$, получаем

$$x^{\frac15}=x^{\frac35}$$

$$x^{\frac15}\left(1-x^{\frac25}\right)=0$$

$$x^{\frac15}\left(1-x^{\frac15}\right)\left(1+x^{\frac15}\right)=0$$

Отсюда $$x=0,\; x=1,\; x=-1.$$

Но функция $$y=x^{\frac35}$$ определена только при $$x\ge 0$$, значит, $$x=-1$$ не подходит.

Тогда точки пересечения: $$x=0$$ и $$x=1$$. Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$x=0 \Rightarrow y=0,\qquad x=1 \Rightarrow y=1.$$

Итак, точки пересечения: $$(0;0)$$ и $$(1;1)$$.

2) Приравняем значения функций:

$$\sqrt[7]{x}=x^{\frac57}$$

То есть

$$x^{\frac17}=x^{\frac57}$$

$$x^{\frac17}\left(1-x^{\frac47}\right)=0$$

$$x^{\frac17}\left(1-x^{\frac27}\right)\left(1+x^{\frac27}\right)=0$$

$$x^{\frac17}\left(1-x^{\frac17}\right)\left(1+x^{\frac17}\right)=0$$

Отсюда $$x=0,\; x=1,\; x=-1.$$

Но функция $$y=x^{\frac57}$$ определена только при $$x\ge 0$$, значит, $$x=-1$$ не подходит.

Следовательно, точки пересечения графиков: $$(0;0)$$ и $$(1;1)$$.

Ответ

1) $$(0;0),\ (1;1)$$

2) $$(0;0),\ (1;1)$$