Упр.130 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) у = корень 5 степени x и у = х3/5 ;
2) у = корень 7 степени х и у=х5/7.

Подробный ответ

1) Найдём точки пересечения графиков $$y=\sqrt[5]{x}$$ и $$y=x^{3/5}.$$

Приравняем функции:

$$\sqrt[5]{x}=x^{3/5}$$

Так как $$\sqrt[5]{x}=x^{1/5},$$ получаем

$$x^{1/5}=x^{3/5}$$

$$x^{1/5}-x^{3/5}=0$$

$$x^{1/5}\left(1-x^{2/5}\right)=0$$

$$x^{1/5}\left(1-x^{1/5}\right)\left(1+x^{1/5}\right)=0$$

Отсюда $$x=0,\; x=1,\; x=-1.$$

Но функция $$y=x^{3/5}$$ определена при всех действительных $$x,$$ а функция $$y=\sqrt[5]{x}$$ тоже определена при всех действительных $$x.$$ Поэтому все найденные значения подходят.

Найдём соответствующие значения $$y$$:

при $$x=0$$ имеем $$y=0,$$ при $$x=1$$ имеем $$y=1,$$ при $$x=-1$$ имеем $$y=-1.$$

Значит, точки пересечения: $$(-1;-1),\ (0;0),\ (1;1).$$

2) Найдём точки пересечения графиков $$y=\sqrt[7]{x}$$ и $$y=x^{5/7}.$$

Приравняем функции:

$$\sqrt[7]{x}=x^{5/7}$$

То есть

$$x^{1/7}=x^{5/7}$$

$$x^{1/7}-x^{5/7}=0$$

$$x^{1/7}\left(1-x^{4/7}\right)=0$$

$$x^{1/7}\left(1-x^{2/7}\right)\left(1+x^{2/7}\right)=0$$

$$x^{1/7}\left(1-x^{1/7}\right)\left(1+x^{1/7}\right)\left(1+x^{2/7}\right)=0$$